若干分数阶微分方程的理论和数值方法研究

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1、万方数据IIllllUIIllIlllllllY3303798学校编码：10384学号：19020130154161詹力赢i分类号——密级——UDC博士学位论文若干分数阶微分方程的理论和数值方法研究Theoreticalandnumericalinvestigationofsomefractionaldifferentialequations林世敏指导教师姓名：许传炬教授MejdiAzaiez教授专业名称：计算数学论文提交日期：2017年4论文答辩日期：2017年5学位授予日期：2017年答辩委员会主席：评阅人：2017年5月月

2、f螋缈万方数据厦门大学学位论文原创性声明本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和《厦门大学研究生学术活动规范(试行)》。另外，该学位论文为()课题(组)的研究成果，获得()课题(组)经费或实验室的资助，在()实验室完成。(请在以上括号内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别声明。)声明人(签名)：林世敏沏f7年箩月2了日万方数据厦门大学学位论文著作权使用声明本人同意厦门大学根据《中华人

3、民共和国学位条例暂行实施办法》等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位论文(包括纸质版和电子版)，允许学位论文进入厦f-JA学图书馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。本学位论文属于：()1、经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文，于年月日解密，解密后适用上述授权。()2、不保密，适用上述授权。(请在以上相应括号内打“√"或填上相应内容。保密学位论文应是已经厦门大学保

4、密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。)声明人(签名)：材也敏沙7年琴月27日万方数据中文摘要本文从理论和数值计算两方面对若干分数阶微分方程进行研究，具体研究内容和结果如下：第一章，概述分数阶微分方程的研究现状，陈述本文的研究动机和涉及的主要内容，并给出了一些相关的预备知识。第二章，讨论R-L分数阶导数或Caputo分数阶导数表出的分数阶微分方程边界条件的提法，相应弱形式的导出以及弱问题的适定性等。接着考虑在不同的假设条件下，使用混合

5、R-LSHCaputo定义的分数阶微分方程定解问题连续解的性质，存在性和唯一性等问题，为后面章节提供理论依据。第三章，引入基于张量分解的ProperGeneralizedDecomposition(PGD)方法求解二维变系数分数阶微分方程，该方法具有减少计算量和存储量的优点。采用谱方法求解PGD算法中的迭代方程，用数值实例说明YPGD方法在求解变系数分数阶微分方程的有效性。第四章，研究了分数Stokes方程的适定性和数值解。首先给出了分数阶Laplace算子的定义与相关的函数空间，建立问题的弱形式，再通过经典的鞍点理论研究弱解的

6、存在唯一性。然后基于导出的变分框架，我们构造有效的谱方法求得弱问题的近似解。本章的主要贡献有三点：1)构建了分数阶Stokes方程变分理论框架；2)给出了弱问题的谱方法逼近，并详细导出数值解的误差估计；3)给出数值方法的一种快速实现技巧，并对导出的离散系统进行分析研究。最后通过一些数值例子验证我们的理论结果。关键词：分数阶微分方程；谱方法；PGD方法；分数阶Stokes方程；分数阶Navier—Stokes方程万方数据AbstractFractionalPDEsappearinmodelingtransportdynamicsi

7、ncomplexsystemsspeciallyhavingtheanolna]ousdiffusion．IthasbeentbundthatS01TIephenomenainvariousfieldsofscience，mathematics，engineering，andeconomicsCallbebeterdescribedbyusingfractionalderivatives．Duetothenon—localnatureofthefractionalderivatives，localmethodssuchasfin

8、itedifferenceandfiniteelementlosstheadvantagethattheyshowforusualpartialdifferentialequations．Thisineansthattheulaindisadvantageofg