《非线性分数阶Volterra积分-微分方程的SCW数值方法》.pdf

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1、第23卷第3期厦门理工学院学报Vo1．23No．32015年6月JournalofXiamenUniversityofTechnologyJun．2015非线性分数阶Volterra积分一微分方程的SCW数值方法朱莉(厦门理工学院应用数学学院，福建厦f-1361024)[摘要]推导第二类Chebyshev小波(SCW)分数阶算子矩阵，利用SCW算子矩阵方法求解了一类非线性分数阶Volterra积分一微分方程．此方法将分数阶积分一微分方程转化成非线性代数方程组求解，可以简化分数阶方程的求解，所得到的数值结果表明该方法是有效和精确的．[关键词]分数阶微积分；SCW；Vo

2、lterra积分微分方程；算子矩阵；BlockPulse函数[中图分类号]0242．2[文献标志码]A[文章编号]1673—4432(2015)03—0096—06近年来，分数阶微分方程的应用引起了不同领域学者的高度重视l1J．然而，由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性在对现实问题进行优美刻画的同时，也给分析和计算造成了很大困难，所以发展分数阶微分方程数值解法是一个迫切需要解决的问题．与其他方法相比，小波数值方法的优点是：1)离散后得到的代数方程组的系数矩阵是稀疏的；2)求解高阶方程问题只导致离散后代数方程组的维数增加；3)方程的解具有收敛性．本文主要利用第二类

3、Chebyshev小波(SCW)算子矩阵方法求解非线性分数阶Volterra积分一微分方程：，DY()一AJk(，￡)F(Y())dt=／'()，∈[0，1]，J0Y“(0)=6；i=0，1⋯，r一1，rEN，其中Y“(t)表示y(t)的阶导数；i是常数；f∈L。[0，1)，k∈L([0，1))。是已知函数；y(x)是未知函数；D(r一1<≤r)是Caputo意义下的分数阶导数；F(Y())是Y()的多项式函数．为简便起见，令F(y(x))=[y(x)]，q>1是正整数，并假设函数厂和k足够光滑．1基础知识1．1分数阶微积分-6]定义1称实函数t)，t>0，属于空间

4、C，∈R，如果存在实数k(k>t，)，使得t)=f(￡)，其中()∈c[o，∞)，称，()，t>0，属于空间ca当且仅当’∈C，m∈N．定义2函数f∈C，t，≥一1的阶Rieman—Liouville分数阶积分算子定义为：(聊㈤：Jo-,f(丁，O,t，(1))，：0．其Ot(OL≥0)阶分数阶导数为：删』l一⋯，1．_而』0≤m～

5、ra积分．微分方程的SCW数值方法·97·定义3函数_厂(t)的Caputo意义下的分数阶导数定义为：(㈩=志m一<≤⋯EN．(2)其中t>0∈C：．对于Caputo导数：如果m一10·(3)1．2SCW的构造及函数逼近定义在区间[0，1)上的SCW满足：其中凡=1，⋯，2和k是任意正整数，且㈩：J-2寺(22n+1)，≤<，(4)LO，其他，()=√鲁()；其中()是m阶的第二类chebyshev多项式，权函数为()=．满足递推关系：()=1；U1(t)=2t；Um

6、+(t)=2tUm(t)一一1(t)，m=1，2，⋯．权函数(t)=to(2t一1)通过伸缩和平移变换可以得到：(t)=to(2t一2n+1)．SCW构成了[0，1)的正交基，即c；其中(·，·)表示[0，1]空间的内积．定义在[0，1]区间上的平方可积函数t)可以用SCW展开成如下形式：f)=∑∑c()，(5)其中系数c=(厂(f)，(￡))=J∞()(t)dt．(6)对式(5)截断有限项，可表示为f)∑∑c()=Ct)，(7)其中系数向量C和SCW函数向量q-(￡)形式为：C=[c10，c11，⋯，cl(一1)；c加，⋯，c2(一1)；⋯；c2一l0，⋯，c2一

7、(肘一1)]I。(8)t)=[10，11，⋯，1(一1)；20，⋯，2(肘一1)；⋯；2—l0，⋯，2一(一1)]T．(9)COSf一令m=2¨M．利用Chebyshev节点￡=作为配就可以得w髓2

8、xm，=[t)(t2)⋯(t，)]．1．3分数阶积分的算子矩阵首先给出BlockPulse函数(BPFs)的定义．定义在区间[0，1)的BPFs为：≤≤mm，(10IJ)J其他，·98·厦门理工学院学报2015钲其中i：0，1，2，⋯，m一1．BPFs具有共轭性和正交性：6c，c，={兰，’6crcfd丁={m，’定义在[0，1]区间上的平方可积函数t)可以展开成如