分数阶偏微分方程的高阶差分方法及其应用研究

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1、隶。轫大◆粤博士学位论文万方数据分数阶偏微分方程的高阶差分方法及其应用研究本论文获国家自然科学基金面上项目(11271068)和江苏省普通高校研究生科研创新计划项目(CXLXll0093)的资助。万方数据HighorderFiniteDifferenceMethOdsForFractionalPartialDifferentialEquationsanditsApplicationsADissertationSubmittedtoSoutheastUniversityfortheAcademicDegre

2、eofDoctorofScienceBy—XuanZhaoSupervisedbyProfessorZhi—zhongDepartmentofMathematicsSoutheastUniversityJune2014¨¨¨¨■I洲8川9哪7㈣0吣7帆Z洲Y万方数据东南大学学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而

3、使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．研究生签名：乒姨东南大学学位论文使用授权声明东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文．本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致．除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容．论文的公布(包括刊登授权东南大学研究生院办理．研究生签名；趣为良．导师签名：33，乏扛日期：丝!生。6：I}

4、万方数据摘要在过去的十几年里，随着分数阶偏微分方程的广泛应用，证实了带分数阶导数的模型比传统的整数阶导数模型能更精确的描述科学与工程领域中的系统现象．然而．分数阶模型的解析解很难得到．所以，分数阶偏微分方程的数值方法研究已成为当前应用数学领域一个重要的分支．本文主要研究几类时间分数阶偏微分方程、空间分数阶非线性Schr6dinger方程、变时间分数阶偏微分方程及相关应用．首先考虑两类空间带变系数的时间分数阶偏微分方程的差分方法．对带Dirichlet边界条件的空间变系数反常扩散方程，结合时间分数阶导数的L

5、1离散和空间导数的四阶逼近，建立了紧差分格式．用能量方法分析了紧差分格式的无条件稳定性和收敛性．对带Neumann边界条件的空间变系数反常扩散方程，利用降阶法构造Box型格式，并相应的给出了理论分析结果．通过数值试验验证了理论分析的精度．对一维分数阶变系数Cattaneo方程，结合了对一阶时间导数和分数阶时间导数的Crank-Nicolson型离散，构造了Crank-Nicolson型紧格式．通过能量方法．分析了紧格式在H1半范下的稳定性和收敛性．收敛阶为()(丁。川+^4)，其中丁和^分别是时间和空间方

6、向的步长，Oz是时间分数阶导数的阶数．对二维问题，结合对时间导数的离散，选择适当的小量项建立了不降低时间方向精度的Crank-Nicolson型紧交替方向差分格式．一维问题和二维问题的数值算例证明了所提差分格式的有效性．其次．对Q∈(0，1)阶Caputo导数，在半网格点提出了中点公式．并分析了公式的截断误差．结合中点公式对分数阶导数的离散及二阶中心差商对拉普拉斯算子的离散，对反常扩散问题构造了时空均是二阶的分数阶Crank-Nicolson格式(FCN)．对二维问题，利用添2rid,量项的方法，建立了分

7、数阶Crank-Nicolson交替方向隐格式，并通过数值方法验证了格式在时间方向的精度是1+Q．通过数值试验：与隐格式(INM)(Zhuangeta1．，SIAMJ．Numer．Anal．：46(2008)，PP．1079—1095)与Crank．Nicolson型(CN)格式(Zhangeta1．，SIAMJ．Nuiner．Anal．．49f2011)，PP．2302—2322)进行比较，结果显示FCN格式对任意的Ol在时间方向都是二阶收敛的．而当Ol接近1时，已有的格式的精度较低．对a∈(1，2)阶

8、Caputo导数，构造二阶的逼近公式并分析其截断误差．结合二阶逼近公式与空间二阶中心差商，对扩散波问题提出了时空均是二阶收敛的差分格式．此外．对空间导数运用紧算子，建立了空间四阶的紧格式．数值算例验证了所提差分格式在时间方向和空间方向的精度．研究非线性空间分数阶SchrSdinger方程的数值解法．利用已有的二阶中心差分格式(eelik和M．DuInan．J．Comput．Phys．，231(2012)，PP．1743．175