分数阶偏微分方程的配置方法及其理论分析

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1、万方数据中图分类号UDC0175．1510学校代码10533密级公开博士学位论文分数阶偏微分方程的配置方法及其理论分析CollocationMethodandTheoreticalAnalysisfor】瑭actionalPartialDi肋rentialEquations作者姓名：学科专业：研究方向：学院(系、所)：指导教师：张海湘数学应用数学数学与统计学院韩旭里教授论文答辩日期塑!生：皇：圣!答辩委员会主中南大学2014年04月万方数据学位论文原创性声明嬲本人郑重声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导

2、下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。作者签名：．多达i鱼i查亟日期：业年—上月丑日学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子

3、版；本人允许本学位论文被查阅和借阅；学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其它手段保存和汇编本学位论文。保密论文待解密后适应本声明。作者签名：塑!鱼达旦日期：业年上月卫日导师签名：蕴丝日期：碰年二L月且日万方数据摘要分数阶偏微分方程能非常有效地描述各种各样的物质的记忆和遗传性质，在物理、数学、生物、电子工程、机械工程和金融等领域发挥越来越重要的作用。然而，分数阶偏微分方程的解析解是比较复杂的，多数的解还不能显示的表示出来。这就促使我们必须考虑有效的数值方法。本文提

4、出两种配置方法来求解现实生活中经常出现的分数阶微分方程，分别是拟小波配置法和正交样条配置法。全文共五章，其中第二、三、四章注重介绍作者的研究工作，其主要内容分别如下：第二章，对于实际中出现的时间分数次偏微分方程，我们首次采用拟小波方法进行数值求解。拟小波思想的主要来源于Mall址的多尺度分析。我们知道，任一的小波子空间都可以由一组正交规范化小波基生成，且正交规范化小波基又有自身对应的正交规范化尺度函数，然而一般的正交规范化尺度函数的傅里叶变换是不连续的。为了改善正交规范化尺度函数的这个局限。我们对它进行正

5、则化处理，这就是拟小波思想的主要来源。本章我们利用二阶向后差分方法进行时间导数离散，空间方向则采用拟小波配置方法。我们也严格证明了时间半离散格式的稳定性和收敛性。最后，我们提供一些数值算例，并数值验证了给出的数值方法是可行而且有效的。除此之外，我们给出了带两个记忆项的积分微分方程的离散格式以及相应的数字算例。第三章，对于时间分数次眦r-Plallck方程，我们提出和分析一种新颖的方法进行数值求解。在给出的方法中，我们采用正交样条配制方法进行空间离散。基于Caputo导数的L1估计，我们时间方向采用向后El

6、ller方法进行离散。同时，我们给出了数值方法的稳定性和收敛性结果，其收敛阶为D(7-2咄+矽+1)。这些理论性结果我们都给出了相应的数值例子进行验证。除此之外，我们从数值结果也能观察给出方法的超收敛性质，也就是，当多项式次数为r=3时，节点处导数的误差收敛阶近似为4。第四章，对于二维分数次Cable方程，我们采用离散时间正交样条配置方法进行求解。给定的方法采用正交样条方法离散空间导数，时间方向采用有限差分方法。同时，我们也验证了这个方法是无条件稳定的，并给出了收敛性分析，即，对日七，(七=0，1)模，其

7、收敛阶为D(7-m洫(2一‰2一他)+舻+1_七)，其中7-，九和，．分别为时间步长、空间步长和多项式次数，而71和能为两个分数阶导数的次数且0<，y1，他<1。为了验证我们的理论分析，我们给出了数值算例。从数值结果可以发现，给定的方法是有效的且与我们的理论分析一致。同时，数值结果也体现了正交样条配置方法的超收敛现象，也就是，u王和u"的节点处最大模误差的收敛阶近似为矿+1。图3幅，表18个，参考文献154篇。万方数据关键词：分数阶偏微分方程；正交样条配置法；拟小波配置法：有限差分方法；稳定性；收敛性；收

8、敛阶分类号：65D25；35R11III万方数据AbstractnauctionallorderpartiaLldi髓rentialequationcaJle髓ctivelydescribethememo珂andtr锄舢妇ibih锣ofma∞7killdsofmat嘶m，andplaysaniIlcresin91yimportantroleillphysiCS，mathematics，biolOgy’electricaLlen