求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性.pdf

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1、分类号：O2910710-2015112015硕士学位论文求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性李瑞导师姓名职称张引娣教授申请学位类别理学硕士学科专业名称数学论文提交日期2018年5月6日论文答辩日期2018年6月9日学位授予单位长安大学TheStabilityandConvergenceofNumericalMethodforSolvingStochasticDifferentialEquationsAThesisSubmittedfortheMasterDegreeofScienceCandidate：LiRuiSupervisor：Prof.ZhangYindiChang’

2、anUniversity,Xi’an,China摘要作为一种重要的数学模型，随机微分方程（SDE）已被广泛应用于金融学、控制论、生态学、神经网路等具有不稳定性的确定性微分系统中，但随机微分方程的解析解不像一般的常微分方程那样容易求得，大多都是用数值解来逼近。因而数值方法的有效性就是解决问题的关键，而有效性一般通过数值方法的稳定性和收敛性来衡量。本文主要研究了求解两类随机微分方程数值方法的稳定性和收敛性。1、对于Itoˆ型随机微分方程，主要研究了求解它的数值方法及方法的稳定性。首先通过对求解Itoˆ型随机微分方程的Heun方法进行改进得到θ-Heun方法。然后根据数值方法均方稳定和指

3、数稳定的定义，证明了θ-Heun数值方法均方稳定和指数稳定的充要条件，以及均方稳定区域。接着给出了使θ-Heun数值方法均方稳定的θ的取值范围，并进行了数值验证。最后用数值实验对这两种数值方法的均方稳定性和渐进稳定性进行了对比。2、研究了求解Itoˆ型随机微分方程θ-Heun方法的收敛性。根据数值方法收敛性的定义，证明了求解标量自治随机微分方程的θ-Heun方法的几种收敛阶，并用数值例子进行了验证。3、推导出几种求解Stratonovich型随机微分方程的数值方法。运用Itoˆ型随机微分方程与Stratonovich型随机微分方程之间的转换法则，把Stratonovich型随机微分

4、方程转换成相对应的Itoˆ型随机微分方程，从而推导出求解Stratonovich型随机微分方程的Heun方法和θ-Heun方法，并利用分步技巧获得了这两种方法的漂移分步法和扩散分步法。从而获得了六种求解Stratonovich型随机微分方程的数值方法。4、对于Stratonovich型随机微分方程，讨论了上述所得六种数值方法的稳定性。首先根据均方稳定和指数稳定的定义证明了这六种数值方法稳定的充要条件，然后给出了使得Stratonovich型随机微分方程的θ-Heun方法均方稳定的θ的取值范围，并进行了数值验证。最后用数值例子分别对这六种数值方法的均方稳定性和渐进稳定性进行了对比。关

5、键词：随机微分方程，均方稳定性，指数稳定性，收敛性IAbstractAsanimportantmathematicalmodel,thestochasticdifferentialequationshasbeenusedinuncertaindifferentialsystemswidely,suchasfiance,cybernetics,ecologyandneuralnetwork.However,theanalyticalsolutionofequationsisnotaseasyasthatoftheordinarydifferentialequation.General

6、ly,thesolutionsofequationsareapproximatedbynumericalsolutions.Sothevalidityofnumericalmethodisthekeytosolvetheproblem,andthevalidityismeasuredbythestabilityandconvergenceofnumericalmethodgenerally.Thispaperstudiesthestabilityandconvergenceofnumericalmethodsforsolvingtwotypesofstochasticdiffere

7、ntialequationsmainly.1、ForItoˆstochasticdifferentialequations,Thenumericalmethodanditsstabilitywasstudiedmainly.First,θ-HeunmethodwasobtainedbyimprovingtheHeunmethod.Then,accordingtothedefinitionofthemeansquarestabilityandexponentialsta