求解随机微分方程的方法的收敛性研究_朱晓临.pdf

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1、第３４卷第１２期合肥工业大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．１２２０１１年１２月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＦＥＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＤｅｃ．２０１１Ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－５０６０．２０１１．１２．０３４求解随机微分方程的Ｈｅｕｎ方法的收敛性研究朱晓临，徐道叁，李井刚，王子洁（合肥工业大学数学学院，安徽合肥２３０００９）摘要：Ｈｅｕｎ方法是求解随机微分方程的一类重要的数值方法。文章研究了Ｈｅｕｎ方法的收敛性，得到了Ｈｅｕｎ方法的各种收敛阶，均值意义下的局部收敛阶为２，均方意义下的局部收敛阶为１，均方强收敛阶为１。关键词：Ｉｔó型随机

2、微分方程；Ｈｅｕｎ方法；局部收敛阶；强收敛阶中图分类号：Ｏ２１１．６３文献标识码：Ａ文章编号：１００３－５０６０（２０１１）１２－１９０７－０６ＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆＨｅｕｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓＺＨＵＸｉａｏ－ｌｉｎ，ＸＵＤａｏ－ｓａｎ，ＬＩＪｉｎｇ－ｇａｎｇ，ＷＡＮＧＺｉ－ｊｉｅ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０００９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｅｕｎｍｅｔｈｏｄｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｎｕｍｅｒｉｃａｌｔｅｃｈｎ

3、ｉｑｕｅｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａ－ｔｉｏｎｓ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆＨｅｕｎｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｏｂｔａｉｎｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｙｐｅｓｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｒｄｅｒｓ．Ｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｌｏｃａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｎｍｅａｎｉｓ２，ｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｌｏｃａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｎｍｅａｎｓｑｕａｒｅｉｓ１，ａｎｄｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｓｔｒｏｎｇｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｉｎｍｅａｎｓｑｕａｒｅｉｓ１．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉｔó－ｔｙｐｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎ

4、ｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｈｅｕｎｍｅｔｈｏｄ；ｏｒｄｅｒｏｆｌｏｃａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｏｒｄｅｒｏｆｓｔｒｏｎｇｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ下相容性与收敛性的关系，讨论了弱收敛意义下０引言的Ｅｕｌｅｒ方法以及二阶方法；文献［４］讨论了连续随机微分方程（ＳＤＥ）理论在经济金融、环境Ｅｕｌｅｒ－Ｍａｒｕｙａｍａ方法的收敛性，得到了随机变延科学、信号处理、工程设计、化学、物理、人口统计、迟微分方程满足局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件时，数值解收制药等多个领域得到了越来越广泛的应用，但一敛于问题本身的真解。文献［５］证明了Ｅｕｌｅｒ法般情况下，很难求出随机微分方程的解析解，因此用于求解标量

5、自治随机微分方程时，当噪声为增构造求解随机微分方程的数值方法就显得非常重加噪声和附加噪声时，Ｅｕｌｅｒ法的收敛阶分别为要，而所构造的数值方法的收敛性和稳定性又是０．５和１．０；文献［６］讨论了随机延迟微分方程的该数值方法最重要的理论保证。目前对随机微分半隐式Ｅｕｌｅｒ方法的收敛性和稳定性；文献［７］讨方程数值解收敛性的研究已经有了一定的成果。论了半隐式Ｅｕｌｅｒ方法的局部收敛性，证明了在文献［１］给出了一个最简单的强收敛方法，即均方意义下半隐式Ｅｕｌｅｒ方法的局部收敛阶为１；Ｅｕｌｅｒ－Ｍａｕｒｙａｍａ方法，也称Ｅｕｌｅｒ方法；文献［２］文献［８］利用附近已有节点上的值，通过插值

6、对延基于一类线性方程研究了Ｅｕｌｅｒ－Ｍａｒｕｙａｍａ方法迟项进行数值逼近，然后针对一般情形下的一类的收敛性；文献［３］给出了数值方法在弱收敛意义非线性随机延迟微分方程初值问题，得到了带线收稿日期：２０１１－０４－０１；修回日期：２０１１－０６－０５基金项目：教育部科学技术研究重大资助项目（３０９０１７）；安徽省自然科学基金资助项目（１１０４０６０６Ｍ０６）和第３８批留学回国人员科研启动基金资助项目（２０１０ＪＹＬＨ０３２２）作者简介：朱晓临（１９６４－），男，安徽池洲人，博士，合肥工业大学教授，硕士生导师．１９０８合肥工业大学学报（自然科学版）第３４卷性插值的半隐式Ｅｕｌｅｒ方

7、法在均方意义下收敛的ｙ珔（ｔ）＋ｈ［ｆ（ｙ（ｔ））＋ｎ＋１＝ｙｎｎ理论结果；文献［９］针对线性随机微分方程，提出２了一类全隐式Ｅｕｌｅｒ方法，证明了该方法生成的ｆ（ｙ（ｔｎ）＋ｈｆ（ｙ（ｔｎ）））］＋ｇ（ｙ（ｔｎ））ΔＷｎ（５）数值解几乎处处收敛，给出了该方法几乎处处稳ｙｈ［ｆ（ｙ）＋ｎ＋１＝ｙｎ＋ｎ２定的充要条件；文献［１０］构造了一种全隐式Ｅｕｌ－ｆ（ｙｎ＋ｈｆ（ｙｎ））］＋ｇ（ｙｎ）ΔＷｎ（６）ｅｒ方法，证明了全隐式方法是１／２阶收敛的，并则称（７）式分别为此数值方法的局部