几类随机微分方程的保结构数值方法.pdf

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1、博博博士士士学学学位位位论论论文文文几类随机微分方程的保结构数值方法STRUCTURE-PRESERVINGNUMERICALMETHODSFORSEVERALCLASSESOFSTOCHASTICDIFFERENTIALEQUATIONS马马马强强强哈哈哈尔尔尔滨滨滨工工工业业业大大大学学学2012年年年12月月月国内图书分类号：O241.8学校代码：10213国际图书分类号：519.6密级：公开理理理学学学博博博士士士学学学位位位论论论文文文几类随机微分方程的保结构数值方法博士研究生：马强导师：丁效华教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：数

2、学系答辩日期：2012年12月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex:O241.8U.D.C:519.6DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceSTRUCTURE-PRESERVINGNUMERICALMETHODSFORSEVERALCLASSESOFSTOCHASTICDIFFERENTIALEQUATIONSCandidate:QiangMaSupervisor:ProfessorXiaohuaDingAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSp

3、ecialty:FundamentalMathematicsAffiliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:December,2012Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要为了更精确地模拟现实世界中自然科学的发展变化，通常无法忽略不确定性的因素对其发展变化的影响，因此，利用随机微分方程可以建立更为精确的模型。然而，随机微分方程往往具有很强的非线性性和耦合性，通常无法计算出其精确解的表达式，因此，构造合适的数值方法并借助计算机

4、模拟其解的性态是至关重要的。在构造数值方法时，所构造的离散格式要尽可能地保持原系统的某些特有结构，例如，辛结构、首次积分、相体积等等，称此类方法为保结构数值方法。大量数值算例表明，保结构数值方法相比一般数值方法对系统进行长时间数值仿真时具有不可比拟的优越性。本文即以此为视角，对几类随机微分方程，构造能够保持其特有结构的数值方法。本文首先介绍随机微分方程及其数值方法的研究历程，进而引入国内外学者在随机微分方程保结构数值方法方面所取得的一些研究成果，并简要回顾本文要用到的预备知识和符号说明。其次，本文利用随机RungeKutta方法和随机分块RungeKu

5、tta方法模拟带有乘积噪声项的随机Hamilton系统，进而研究这两类数值方法的辛条件，计算出随机辛RungeKutta方法和随机辛分块RungeKutta方法的三类带噪声的生成函数，并证明了这两类辛方法可以精确保持随机微分方程的二次守恒量。利用方法的辛条件和阶条件，构造了几类1阶强收敛的低级随机辛RungeKutta方法和低级随机辛分块RungeKutta方法。再次，本文将非标准有限差分方法与带噪声的Hamilton原理相结合提出了一种新的数值积分技术，并分别以一个带有附加噪声项的线性随机振子和一个带有附加噪声项的非线性随机振子为例，介绍如何利用所提

6、出的数值积分技术对随机微分方程构造数值方法。证明了所构造数值方法的均方收敛阶为1，并可以保持原系统的辛结构。利用带噪声的Hamilton原理对带有附加噪声项的二阶随机微分方程提出了隐显随机变分积分子，这种数值积分方法将带噪声的作用量积分中的势能分为快变势能和慢变势能两类，并分别利用不同数值积分方法近似计算作用量积分中的相应项，使所构造的随机变分积分子对快变部分是隐式的，而对慢变部分是显式的。这种隐显随机变分积分子可以保持原随机系统的辛结构，其均方收敛阶为1.接着，本文对具有一个守恒量的Stratonovich型随机微分方程提出一种新的数值积分方法，并将

7、其称为随机平均向量场方法，证明了该方法可以精确保-I-哈尔滨工业大学理学博士学位论文持原随机系统的守恒量，并利用StratonovichTaylor展开的方法详细分析了随机平均向量场方法的均方收敛阶。最后，本文定义了带跳随机微分方程的均方耗散性，并提出可以保证原随机系统均方耗散性的充分条件。随后证明了，当满足一定条件时，分步向后Euler方法、补偿的分步向后Euler方法、向后Euler方法和补偿的向后Euler方法均可以保持原随机系统的均方耗散性。此外，本文利用数值算例验证了所构造的保结构数值方法，相比一般数值方法对随机系统进行长时间数值模拟时具有不

8、可比拟的优势。关键词：随机微分方程；随机Hamilton系统；收敛阶；辛结构；守恒量；均方耗散