马尔可夫切换型随机微分方程的数值方法

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1、分类号学号M201370043学校代码10487密级硕士学位论文马尔可夫切换型随机微分方程的数值方法学位申请人：史晓学科专业：应用数学指导教师：周少波副教授答辩日期：2015年5月12日AThesisSubmittedinPartialFulfillmentoftheRequirementsfortheDegreeofMasterofScienceNumericalmethodsforstochasticdifferentialequationswithMarkovianswitchingCandidate:ShiXiaoMajor

2、:AppliedMathematicsSupervisor:AssociateProfessorZhouShaoboHuazhongUniversityofScience&TechnologyWuhan430074,P.R.ChinaMay,2015独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位

3、论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。保密，在年解密后适用本授权书。本论文属于不保密。√（请在以上方框内打“”）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日华中科技大学硕士学位论文摘要马尔可夫切换型随机系统是一类非常重要的随机混合系统，

4、在自然科学领域得到了较广泛应用，受到了人们越来越多的关注。然而对于大多数随机微分方程的分析解不易求得，因此我们常常会关注其离散型的数值解。离散型的数值解的收敛性和稳定性是数值分析的两个主要内容。对于一致利普希兹连续系数的线性随机微分方程的数值解的收敛性和稳定性已经得到了较为完善的研究。2011年，Szpruch和Higham([1])证明了具有单边利普希兹漂移系数和线性增长扩散系数的非线性随机微分方程的倒向Euler-Maruyama方法数值解的强收敛性。2013年，Mao和Szpruch([2])证明了在单边线性增长条件和单边利

5、普希兹漂移系数下非线性随机微分方程的随机theta方法的数值解的强收敛性。本文借鉴Mao和Szpruch的方法研究了马尔可夫切换型随机微分方程在单边利普希兹条件和单边线性增长条件下的倒向Euler-Maruyama方法数值解的强收敛性及其稳定性。本文利用随机积分的相关性质、伊藤引理、停时理论、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gronwall不等式等随机分析的工具研究了全局解的存在唯一性与稳定性及有界性，并在一系列引理的基础上证明了倒向Euler-Maruyama方法数值解的强收敛性，又应用半鞅收敛定理建立了倒向

6、Euler-Maruyama方法数值解的稳定性。本文最后又研究了马尔可夫切换型随机微分方程的随机theta方法数值解的收敛性和稳定性问题。关键词：马尔可夫切换；随机微分方程；收敛性；倒向Euler-Maruyama方法；随机theta方法；半鞅收敛定理；稳定性I华中科技大学硕士学位论文AbstractStochasticsystemwithMarkovianswitchingisanimportantclassofstochastichybridsystemsandhasmorewiderapplicationsinscience

7、andengineeringfields.Soithasre-ceivedagreatdealofattention.However,ingeneral,theexplicitsolutionsarenotknown.Wethereforeconsidercomputablediscreteapproximations.Theconvergenceandstabil-ityofnumericalmethodsaretwoofkeyproblemsinnumericalanalysis.Convergenceandstabilityo

8、fnumericalmethodsarewellunderstoodforstochasticdifferentialequationswithuniformLipschitzcontinuouscoefficients.In2011,Highama