复分析五讲第五讲微分几何与Picard定理

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1、數學傳播35卷2期,pp.66-90複分析五講第五講微分幾何與Picard定理龔昇·張德健5.1.度量與曲率(metricandcurvature)在這一講中,我們將介紹一些複幾何的基礎知識並用之來處理複分析中的一些定理,例如Picard定理。Picard定理也許是複變函數論尤其是值分佈理論中最經典的定理之一,原來的證明非常的繁複,但如果用微分幾何的角度來討論,就顯得簡單得多了。若Ω為C中的一個區域,在Ω上定義一個非負的C2函數ρ,稱之為度量(metric),即ds2=ρ2

2、dz

3、2。由此得到距離函數d,在兩點z,z∈Ω之的距離定義為ρ12Zd(z1,z2)=infρ(z

4、)

5、dz

6、,(5.1)γ這裡inf是所連接z1,z2兩點且各點全在Ω中的曲線γ上取的。對度量ρ,可以定義曲率(curvature)如下:∆logρ(z)K(z,ρ)=−,(5.2)ρ2(z)這裡∆為Laplace算子,即∂2∂2∂∂∂∂∂21∂1∂2∆=+=4=4=++,∂x2∂y2∂z∂z∂z∂z∂r2r∂rr2∂θ2其中z=x+iy=reiθ。我們可以證明這樣定義的曲率與一般在微分幾何中定義的Gauss曲率是一致的。在複幾何中常用的度量有如下三種。(1)歐氏度量(Euclideanmetric)若Ω=C,在C中取度量ρ(z)≡1,對所有z∈C,即ds2=

7、dz

8、2,這

9、個度量稱為歐氏度量(Euclideanmetric)或拋物度量(parabolicmetric),兩點z1,z2之間的距離稱為歐66複分析五講第五講67氏距離,而Zd(z1,z2)=inf

10、dz

11、=

12、z1−z2

13、=連接z1,z2兩點的直線段之長度,γ由變換{w=eiθz+a,θ∈R,a∈C}所組成的群,即由旋轉w=eiθ及平移w=z+a的複合所組成的群稱為歐氏運動群,或剛體運動群(Groupofrigidmotions),這是Aut(C)中的一個子群,顯然,歐氏度量是在歐氏運動群下的不變度量。而由定義(5.2),這時候K(z,ρ)=0對任意的z∈C都成立,所以稱這個度量為

14、拋物度量。(2)Poincar´e度量若Ω為單位圓盤D(0;1)={z∈C;

15、z

16、<1},在D(0;1)上取度量2λ(z)=,1−

17、z

18、24

19、dz

20、2即ds2=。λ(1−

21、z

22、2)2這個度量稱為Poincar´e度量(Poincar´emetric)或雙曲度量(hyperbolicmetric)。在第二講中我們已證明:D(0;1)的全純自同構群Aut(D(0;1))由變換()iθz−aw=e,θ∈R,a∈D(0;1)1−az所組成,即群由旋轉及M¨obius變換所組成。在第二講中也證明:Poincar´e度量是在Aut(D(0;1))下的不變量。現在我們來計算D(0;1)

23、中兩點z1,z2的Poincar´e距離。先考慮D(0;1)中兩點z1=0及z2=R+i0(R<1)之間的Poincar´e距離。這時候連接這兩個點的曲線γ可以寫成z(t)=u(t)+iv(t),0≤t≤1,v(0)=u(0)=v(1)=0,u(1)=R,而u2(t)+v2(t)<1,u,v為t的C1實值函數,於是ZZZ1′2′212

24、dz

25、(u(t)+v(t))2dtds==2γγ1−

26、z

27、201−u2(t)−v2(t)Z1′ZR2

28、u(t)

29、dt2du1+R≥≥=log,01−u2(t)01−u21−R而等號成立若且唯若v(t)=0,0≤t≤1。所以得到Z2

30、dz

31、1

32、+Rd(0,R+i0)=inf=log,γγ1−

33、z

34、21−R68數學傳播35卷2期民100年6月而對積分取inf的γ為連接0及R+i0的直線段。由於w=eiθz是Aut(D(0;1))中的一個元素,故D(0;1)中任意兩點的Poincar´e距離經w=eiθz作用後是不變的。因此,我們得到1+RiθD(0;eR)=log1−R對任意θ∈R都成立。若z1,z2為D(0;1)中任意兩點,則z−z1φ(z)=1−z1z為Aut(D(0;1))中的一個元素,將z1映為0,z2映為z2−z1.1−z1z2於是z2−z11+z2−z11−z1z2d(z1,z2)=d0,=log

35、z−z.(5.3)1−z1z21−211−z1z2這就是D(0;1)中任意兩點z1,z2之間的Poincar´e距離或雙曲距離。在這個時候Z

36、dz

37、d(z1,z2)=infγγ1−

38、z

39、2其中取inf的γ為曲線z2−z1z1+t1−z1z2z=,0≤t≤1,z2−z11+z1t1−z1z2即(1−t)z1+(t−z1z1)z2z=,0≤t≤1.1−tz1z1−(1−t)z1z2從(5.3)式中可以看出,當z2→z1時,d(z1,z2)=0;當z1或z2趨於D(0;1)的界點時,d(z1,z2)→+∞。在第二講中我們證明了Sch