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1、第五讲常微分方程一、一阶微分方程二、二阶线性微分方程一、一阶微分方程1.微分方程的概念2.可分离变量的方程3.一阶线性微分方程定义1.理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.例如:(其中p(x),q(x)为已知函数)(m,k,g为常数)未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.例如:(其中p(x),q(x)为已知函数)(m,k,g为常数)未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶数.一阶方程:二阶方程:2.掌握可分离变量方程的解法。形如的方程
2、称为可分离变量方程将左式两边积分即得其通解或(即变量x,y可分离).例:求方程的通解.例:求初值问题的特解.例:求方程的通解.练(2006年高数二)求微分方程满足初始条件y(0)=1的特解.练(2006年高数一)求微分方程的通解.题型一：求分离变量方程.练(2007年高数二)设f(x)在具有连续导数,且满足方程求f(x).3.掌握一阶线性方程的解法形如(p(x),q(x)为已知函数)的方程,或化为的方程都称为一阶线性微分方程.注:都不是一阶线性微分方程.(y和都是一次的)3.掌握一阶线性方程的解法形如(p(x),q(x)为已知函数)的方程,或化为的方程都称为
3、一阶线性微分方程.当q(x)=0时,称为一阶齐次线性方程.称为一阶非齐次线性方程.当时,例:求非齐次线性微分方程的通解.一阶线性非齐次方程通解公式:例:求非齐次线性微分方程的通解.一阶线性非齐次方程通解公式:例:求初值问题的特解.练(2005年高数二)求微分方程的通解.练(2007年高数二)求解微分方程题型二：一阶线性微分方程二、二阶线性微分方程1.二阶线性微分方程解的结构2.二阶常系数齐次线性微分方程3.二阶常系数非齐次线性微分方程1.了解二阶线性微分方程解的结构形如的微分方程称为二阶线性微分方程.注:都不是二阶线性微分方程.(y,都是一次的)形如的微分方
4、程称为二阶线性微分方程.(y,都是一次的)当f(x)=0时,称为二阶齐次线性微分方程.当时,称为二阶非齐次线性微分方程.1.了解二阶线性微分方程解的结构的线性无关的解则原方程的通解为c1,c2为任意常数.二阶齐次线性方程解的结构若是方程(即y1(x)与y2(x)不成比例),的通解为其中二阶非齐次线性方程解的结构二阶非齐次线性方程为对应的齐次方程的通解,为非齐次方程的任一个特解.问:若Y1(x),Y2(x)是非齐次方程的两个解,则Y1-Y2是此方程的解吗?题型三：二阶线性微分方程解的结构.例已知非齐次方程的三个特解为试求该方程的通解.例已知非齐次方程的两个特解
5、为且此方程的对应齐次方程的一个解为x,试求非齐次方程的通解.练(2007年高数二)若y=xsinx,y=sinx分别为非齐次线性方程的解,则y=(x+1)sinx为下列方程中()的解:(A)(B)(C)(D)2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法其中a,b,c均为常数.方程称为方程(1)的特征方程.(1)特征方程(2)的根称为方程的特征根.(2)二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程设r1,r2为方程(2)的两个特征根,(2)1)当r1,r2为两个相异的实根时,原方程的通解为2)当r1=r2=r时,原方程的通解为3)原方程的通解为例:求齐次方程的通解.例:求
6、初值问题的解.题型四：二阶常系数齐次线性微分方程.例:求齐次方程的通解.练(2006年高数二)微分方程的通解为___________练(2007年高数一)任给有理数a,函数f(x)满足求f(x).练(2008年高数二)求微分方程的通解.其中的通解为为对应的齐次方程的通解,为非齐次方程的任一个特解.3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程：例:例:求微分方程的通解.题型五：二阶常系数非齐次线性微分方程.求微分方程的解.练(2008年高数一)求微分方程的通解.练(2006年高数二)若函数求f(x).练(2006年高数一)求微分方程满
7、足的特解.练(2007年高数二)求微分方程的通解.练习:练习解答:练习:综合练习1.判别级数的敛散性.2.将在x=1处展开成泰勒级数.3.设f(x)为连续函数,且满足求f(x).4.求方程的通解.综合练习5.求6.求7.设求并讨论是否存在.8.计算积分综合练习10.设求9.计算下列积分.综合练习解答1.判别级数的敛散性.2.将在x=1处展开成泰勒级数.取级数,用比较判别法,得到原级数收敛.综合练习解答3.设f(x)为连续函数,且满足求f(x).4.求方程的通解.通解为:综合练习解答5.6.综合练习解答7.设求并讨论是否存在.当x≠0时,不存在.综合练习解答8
8、.计算积分综合练习解答9.计算下列积分.(1)令则综
