数值分析》第五讲：常微分方程数值解

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1、常微分方程数值解理学院陈丽娟《数值分析》第五讲第五章：常微分方程数值解§5.1引言1、常微分方程与解为n阶常微分方程。如果函数在区间[a,b]内n阶可导，称方程满足方程的函数称为微分方程的解。则如为任意常数）一般称为方程的通解。为方程的解。如果则有为方程满足定解条件的解。第五章：常微分方程数值解方程的通解满足定解条件的解微分关系（方程）解的图示第五章：常微分方程数值解本教材重点讨论定解问题(初值问题）定解条件（初始条件）是否能够找到定解问题的解取决于仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程

2、至今无法理论求解。如等等2、数值解的思想第五章：常微分方程数值解（1）将连续变量离散为（2）用代数的方法求出解函数在点的近似值*数学界关注工程师关注如果找不到解函数数学界还关注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振动性解的周期性解的稳定性解的混沌性……§5.2Euler方法第五章：常微分方程数值解第一步：连续变量离散化第二步：用直线步进·····Euler格式1、Euler格式18世纪最杰出的数学家之一，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。1727年-1741年（20岁-34岁）在彼得堡科学院从事研究工作，在分析学、数论、力

3、学方面均有出色成就，并应俄国政府要求，解决了不少地图学、造船业等实际问题。24岁晋升物理学教授。1735年（28岁）右眼失明。第五章：常微分方程数值解1741年-1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作。1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失明。Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成果74卷。第五章：常微分方程数值解例P106第五章：

4、常微分方程数值解初值问题Bernoulli方程由Bernoulli方程的求解方法可得解析解Euler格式为令将代入Euler格式步进计算结果见P106表5.1第五章：常微分方程数值解Euler值Euler格式的误差分析事实上Euler格式的每一步都存在误差，为了方便讨论算法的好坏，假定第n步准确的前提下分析第n+1步的误差，称为局部截断误差。第五章：常微分方程数值解即讨论由Taylor公式第五章：常微分方程数值解Euler格式的误差为2、后退Euler格式令得令Euler格式第五章：常微分方程数值解后退Euler格式令得隐式格式令后退Euler格式

5、的值Euler格式的值3、梯形格式4、改进的Euler格式预测校正第五章：常微分方程数值解隐式格式为方便计算，一般用以下改进格式计算用改进格式计算例5.1的结果见P110表5.2第五章：常微分方程数值解5、两步Euler格式第五章：常微分方程数值解一般，如果称计算格式具有阶精度。已知Euler格式即Euler格式具有一阶精度如果令并假定第五章：常微分方程数值解则有记则将在点Taylor展开的计算格式其中假设第五章：常微分方程数值解特别要注意的是：一般两点预测格式具有二阶精度。当时所以第五章：常微分方程数值解考察两点校正格式的精度为便于处理，通常假定

6、否则见P108一般情况下则又，并记第五章：常微分方程数值解比较得即梯形格式具有二阶精度，因此两步格式从预测到校正均达到二阶精度。因此得具有二阶精度的两步Euler格式预测校正第五章：常微分方程数值解§5.3Lunge-Kutta方法1、二阶Lunge-Kutta方法（P113-P115)第五章：常微分方程数值解依据精度要求的待定系数法令确定使具有二阶精度平均斜率在点的斜率在点的斜率用Euler格式预测第五章：常微分方程数值解对照第五章：常微分方程数值解可解得得改进的Euler格式3、三阶Lunge-Kutta方法第五章：常微分方程数值解补充确定参数

7、使具有二阶精度第五章：常微分方程数值解使具有三阶精度即分别将在点Taylor展开，代入（P116)与的Taylor展开比较第五章：常微分方程数值解得可解得第五章：常微分方程数值解得一个三阶精度的Runge-Kutta格式4、四阶Lunge-Kutta方法见P117§5.4几种方法的数值计算例5.1P106改进的Euler格式Euler格式第五章：常微分方程数值解四阶经典Lunge-Kutta方法例5.1P106第五章：常微分方程数值解x精确值Euler方法改进Euler方法四阶Lunge-KuttaEuler方法误差改进Euler误差四阶Lunge

8、-Kutta误差01.00000001.00000001.00000001.00000000.00000000.00000