数值分析常微分方程初值问题的数值解

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1、数值分析课程实验报告实验名称常微分方程初值问题的数值解班级姓名学号序号教师地点数学实验中心评分一、实验目的①掌握常微分方程数值解的常用算法；②培养编程与上机调试能力。二、用文字或图表记录实验过程和结果5.3.1改进欧拉法的算法对给定的，用如下改进的欧拉公式5.3.2四阶龙格-库塔法的算法对上述给定的，用如下四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题，三、练习与思考题分析解答1、编程求解常微分方程初值问题a)b)（1）编程实现改进欧拉法和四阶龙格-库塔法，并求解常微分方程初值问题a)和b)，写出数值结果。（2）分析改进的欧拉公式和四阶龙格-库塔法的求解结果，并从结果分析其收敛性。问题a）的真解为

2、，问题b）的真解为。解：用改进欧拉法和龙格库塔法求解微分方程求解结果如下：方法00.10.20.30.4改进欧拉法1.00001.111 1.25201.43301.6762四库塔法阶龙格1.00001.11111.25001.42861.6667精确值1.00001.11111.25001.42861.4286用改进欧拉法和龙格库塔法求解微分方程求解结果如下：方法2.02.12.22.32.42.52.6改进欧拉法1.00001.18751.35651.51341.66141.80291.8029四阶龙格库塔1.00001.18741.35651.51331.66131.80281.93

3、91精确值1.00001.18741.35651.51331.66131.80281.9391计算结果表明，经典四级龙格—库塔法优于改进欧拉法，另外，通过与真值比较可知，欧拉法具有二阶收敛性，四阶龙格-库塔法具有四阶收敛性。2、分别取步长，用显式欧拉法和隐式欧拉法求解初值问题由结果分析算法的稳定性。(解析解为)解：当取步长，计算得到以下结果准确值显示欧拉法隐式欧拉法0100.0000100100.00000.10.6738-40016.66670.20.004516002.77780.30.0000-64000.46300.40.0000256000.07720.50.0000-10240

4、00.01290.60.00004096000.00210．70.0000-16384000.00040.80.000065536000.00010.90.0000-262144000.00001.00.00001048576000.0000当取步长为，计算结果如下：准确值显示欧拉法隐式欧拉法0100.00001001 0.00000.058.2085-15028.57140.10.67382258.16330.150.0553-337.52.33240.20.0045506.20.66640.250.0004-759.40.19040.30.0000113.910.05440．350.0

5、000-170860.01550.40.00002562.90.00440.450.0000-3844.30.00130.50.00005776.50.0004当取步长为，计算结果如下：准确值显示欧拉法隐式欧拉法0.01001001000.0160.65315066.66670.0236.78792544.44450.0322.313012.529.62960.0413.53356.2519.75310.058.20853.12513.16870.064.97871.56258.7791当取步长为，计算结果如下：准确值显示欧拉法隐式欧拉法0.01001001000.00577.880175

6、800.0160.653156.25640.01547.236742.187551.20.0236.787942.187540.960.02528.650523.730532.7680.0322.313017.7979726.2144由结果可知，当时，显式欧拉法不太稳定，而隐式欧拉法发散；当时，显式欧拉法和隐式欧拉法都是稳定的。3、选择某常微分方程初值问题的数值方法计算的近似值，并保证有四位有效数字。,,t0.10.20.30.40.5y1.09991.19961.29851.39651.4931t0.60.70.80.91y1.58811.68121.77211.86051.9461故近

7、似值为：1.58634、画出RKF方法的算法流程图，并编程实现该算法，求解5.4节的常微分方程初值问题开始输入n=1输出N=n?Yn=n+1,N结束一、本次实验的重点难点分析重点：在理论理解显示欧拉法、隐式欧拉法、改进的欧拉法；通过编程实现改进欧拉法和四阶龙格-库塔法；难点：本次试验当中通过具体的题目编写实现改进欧拉法和四阶龙格-库塔法，虽然可以计算出具体数值，但是实验并不能准确表达各种方法的准确度，以及实验结果的收敛性