数值分析常微分方程数值解实验题

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1、数值分析第四次上机练习实验报告——常微分方程数值解实验题一、问题的描述考虑一下问题：；初试条件为，。其精确解为；请分别用古典四级四阶显式Runge-Kutta方法和隐式二级四阶Runge-Kutta方法计算，计算区间取成，并与精确解比较。二、方法描述Runge-Kutta方法是采用不同点上函数值的不同组合来提高方法的精度。又避免了函数f的偏导数计算。a)古典四级四阶显式Runge-Kutta方法古典四级四阶显式Runge-Kutta方法相应的计算格式为b)隐式二级四阶Runge-Kutta方法隐式二级四阶Runge-Kutta方法相应的计算格式为：三、方案设计我

2、们通过编写程序来进行运算，程序语言采用Matlab语言，运行环境为MatlabR2010b。在我们的程序文件中practice4.m文件为主程序文件，RK_ex44.m为使用古典四级四阶显式Runge-Kutta方法计算的函数，RK_im24.m为使用隐式二级四阶Runge-Kutta方法计算的函数。a)古典四级四阶显式Runge-Kutta方法由functiony=RK_ex44(f,a,b,y0,N,p)函数计算得到。该函数可计算函数f，计算区间上下限为a、b，初值为y0，N个点，p个未知数，使用古典四级四阶显式Runge-Kutta方法计算得到的值。显式计

3、算方法非常便于实现，按照计算公式使用matlab语句编程实现即可。具体实现详见源程序。b)隐式二级四阶Runge-Kutta方法由functiony=RK_im24(A,c,a,b,y0,N)函数计算得到。该函数可计算函数f，计算区间上下限为a、b，初值为y0，N个点使用隐式二级四阶Runge-Kutta方法计算得到的值。隐式计算方法不似显式那么便利，需要解非线性方程组。然后依然是迭代求解。具体实现详见源程序。二、计算结果及误差分析如上图所示为步长h=0.001时的仿真结果。图中蓝色线代表精确解，红色线代表古典显式四级四阶Runge-Kutta方法的解，绿色线（

4、由于颜色叠加显示为黄色线）代表隐式二级四阶Runge-Kutta方法的解。由图可知，当步长h选择足够小时，两种方法均能较好的对实验结果进行模拟。下面对当选择不同的步长h时的实验结果进行讨论。首先讨论古典显式四级四阶Runge-Kutta方法。下述六幅图分别显示了当步长h=0.0015，h=0.0014，h=0.0013时，u(t)和v(t)的仿真结果。由图中可以看出，当步长不够小时，无法得到正确的仿真结果。而一旦选择足够小的步长，能够得到较好的仿真结果。当h=0.0015时当h=0.0014时当h=0.0013时当h=0.1时接下来讨论步长h对隐式二级四阶Run

5、ge-Kutta方法的仿真结果的影响。当h=0.01时可以看出，当h=0.1时，隐式二级四阶算法已能较好的精确v(t)，然而，因为u(t)值出现了阶跃，故并不能很好的对u(t)进行仿真。下表显示了h=0.1,h=0.08,h=0.06,h=0.04,h=0.02,0.01时，u(t)的仿真图。并根据局部讨论的需要进行了局部的放大。由图中可以看出，随着步长的逐步缩减，在t=0处由于，u(t)的阶跃造成的误差在逐步缩减，直至可以忽略。一、结论通过实验可以发现，显式RK方法虽然表达方式简明，步骤简单，然而需要较小的步长以及较长的计算时间才能达到较精确的解。相比之下，隐

6、式RK方法需要的计算时间远小于显式方法，并且较大的步长就可以满足得到精确解的需求，亦即隐式方法的绝对稳定性较好。不足之处在于，隐式方法表达公式不够简明，需要求解非线性方程组。在实际生活中，可以根据所需求解问题的需要选取相应的求解方法。