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《实验5常微分方程数值解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实验5常微分方程的数值解概要：将装满放射性废物的圆桶扔到水深300ft的海底，圆桶体积55gal，装满废料的桶重为527.436lbf，在海中浮力为470.327lbf。此外，下沉时受到的阻力与速度成正比，比例系数为0.08lbf/s。实验发现当圆桶速度超过40ft/s时，就会因与海底冲撞而破裂。要求：（1）建立解决上述问题的微分方程模型（2）用数值和解析两种方法求解微分方程，并回答谁赢得了官司。模型建立由牛顿第二定律可列出圆桶下沉速度的微分方程：其中G为圆桶重量，F为浮力，b为下沉阻力与速度关系的比例系数。换算到国际单
2、位制，dept=300*0.3048=91.4400海深（m）ve=40*0.3048=12.1920速度极限（超过就会使圆筒碰撞破裂）(m/s)G=527.436*0.4536*9.8＝2344.6圆筒重量（N）F=470.327*0.4536*9.8＝2090.7浮力(N)m=527.436*0.4536＝239.24圆筒质量（kg）b=0.08*0.4536*9.8/0.3048＝1.1667比例系数(Ns/m)模型求解一．求数值解Matlab程序如下：sd.m:functiondx=sd(t,x,G,F,m,b)
3、dx=[(G-F-b*x)/m];%微分方程 sddraw.m:clear;G=527.436*0.4536*9.8;%圆筒重量（N）F=470.327*0.4536*9.8;%浮力(N)m=527.436*0.4536;%圆筒质量（kg）b=0.08*0.4536*9.8/0.3048%比例系数(Ns/m)h=0.1;%所取时间点间隔ts=[0:h:2000];%粗略估计到时间2000x0=0;%初始条件opt=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9
4、[t,x]=ode45(@sd,ts,x0,opt,G,F,m,b);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算%[t,x]%输出t,x(t),y(t)plot(t,x,'-'),grid%输出v(t)的图形xlabel('t');ylabel('v(t)'); %用辛普森公式对速度积分求出下沉深度T=20;%估计20s以内降到海底fori=0:2:10*T%作图时间间隔为0.2y=x(1:(i+1));k=length(y);a1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(a1);a2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(a2
5、);z4((i+2)/2)=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*h/3;%辛普森公式求深度endi=[0:2:10*T];figure;de=300.*0.3048.*ones(5*T+1,1);%海深ve=40.*0.3048*[11];%速度极限值（超过就会使圆筒碰撞破裂）plot(x(i+1),z4',x(i+1),de,ve,[0z4(5*T+1)]);%作出速度－深度图线，同时画出海深和速度要求grid;gtext('dept'),gtext('Vmax');xlabel('v');ylabel('de
6、pt(v)'); figure;plot(i/10,z4');%作出时间－下降深度曲线grid;xlabel('t');ylabel('dept(t)'); 求解结果如下图：速度—时间曲线：可以看到经过足够长的时间后，如若桶没有落到海底，它的速度会趋于常值。那时重力，浮力和阻力达到平衡。对速度积分可得时间－深度曲线（估计20s内桶会落到300ft的海底，故图中时间轴上数值到20）：再画出速度－时间曲线，同时在图中标出了海深dept和速度极限值Vmax从图中可以观察到圆桶落到海底时（即dept（v）＝dept时），速度已经
7、超过Vmax，故圆桶会因为速度过快而与海底碰撞破裂。为求处此速度，将上图局部放大：可以看到当圆桶沉到海底时速度为13.6344m/s，超过了12.1920的极限速度。 二．解析解用Mathematica求解模型的微分方程：对v(t)积分得到下沉深度de(t)=44624.996*exp(-0.004877*t)+217.6224*t-44624.996,令de(t)＝91.4400得t=13.2812,代入v(t)得v(13.2812)=13.6507（m/s）>Vmax=12.1920(m/s),所以圆桶在海底将会碰撞
8、破裂。解析解13.6507与数值解13.6344相差甚小，很好地验证了数值解得正确性。 结论：经过计算表明圆桶到达海底时的速度将超过40ft/s，即圆桶会破裂。工程师们将赢得官司。 第五题已知：一只小船度过宽为d的河流，目标是起点A正对着的B点，已知河水流速与船在静止的水中的速度之比为k。求：（1）建立描述小船航线的
