第5章常微分方程数值解

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1、数值计算基础讲义武汉科技大学计算机学院第5章常微分方程数值解法[教学目的与要求]1．理解常微分方程数值解法的基本思想；2．掌握欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法的基本公式与构造；3．理解龙格-库塔方法的基本思想与构造方法；4．了解一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法；5．理解线性多步法的基本思想与构造方法。[重点与难点]重点：欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法、龙格-库塔的基本公式与构造。难点：一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法，线性多步法的基本思想与构造方法。[教学安排]主要内容学时课后作业5.1引言2P1602，3题5.2Runge-Kutta法2P1

2、618，9题5.3线性多步法2P16111题5.4常微分方程数值解的进一步讨论2P16112题[授课内容]5.1引言一、主要问题已知求y(x)(1)y(x)难以用解析式表示(2)解析表达式复杂，难以计算二、解决方法约定：表示的近似值。(1)y(x)以列表法表示…－5.13－数值计算基础讲义武汉科技大学计算机学院…(1)采用“步进式”，以定步长h顺着节点向前推进计算(2)利用，建立的递推公式。三、数值微分法两点公式：三点公式：1、欧拉公式几何意义：y=y(x)x0x1x2xnxn+1例：用欧拉法求初值问题当h=0.02时在区间[0,0.10]上的数值解。－5.13－数值计算基础讲义武汉科

3、技大学计算机学院解：把代入欧拉法计算公式。就得具体计算结果如下表：nxnyny(xn)en=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021在上表中y(xn)列，乃是该初值问题的真解在xn上的值。为近似值yn的误差。从表中可以看出，随着n的增大，误差也在增大，所以说，欧拉法计算简便，对一些问题有较大的使用价值，但是，它的误差较大，所得的数值解精确度不高。2、后退欧

4、拉公式（隐式欧拉公式）右边的计算：1）化为显式2）用欧拉公式3）化为，由后向前计算，故称后退欧拉公式3、二步欧拉公式的计算：用欧拉法－5.13－数值计算基础讲义武汉科技大学计算机学院四、数值积分法1、左矩形公式2、右矩形公式3、中矩形公式4、梯形公式性质：1）隐式公式2）欧拉法与隐式欧拉法的算术平均改进欧拉公式1）梯形公式右边用Euler法计算2）三种等价表示形式a、预报-校正形式预报：校正：b、嵌套形式c、平均化形式例:设初值问题－5.13－数值计算基础讲义武汉科技大学计算机学院试用Euler法和改进Euler法在区间[0,1.5]上取h=0.1求解，并与精确解进行比较。解：（1）用

5、Euler法计算公式如下：（2）用改进Euler法计算公式如下：计算结果如下表：xnEuler法yn改进Euler法yn准确解y(xn)01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2602011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4161021.4142140.61.5089661.4829561.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.

6、6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320511.11.851181.7958221.7888541.21.9174641.8522421.8439091.31.9840461.9073231.8973671.42.0514041.9612531.9493591.52.1200522.0142072.000000五、局部截断误差与精度1、局部截断误差的定义定义：一个近似公式，当公式右边的量是精确时前提下，称为局部截断误差。－5.13－数值计算基础讲义武汉科技大学计算机学院2、精度的定义定义：一个公式若它的局部截断误差为，则称该公式的精度为p阶。例：求

7、证欧拉公式精度为一阶。证明：即证(1)令(2)(1)－(2),得例：求证后退欧拉公式精度为一阶。证明：即证(1)令，右边的(2)(1)－(2),得例：求证二步欧拉公式精度为二阶。证明：即证(1)－5.13－数值计算基础讲义武汉科技大学计算机学院令，(2)(1)－(2),得例：求证梯形公式精度为二阶。证明：即证(1)令，右边的(2)(1)－(2),得5.2Runge-Kutta法一、基本思想1、精确公式与近似公式的关系精确公式：欧拉公式：精度一阶