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《第8章_常微分方程数值解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1结束第8章常微分方程的数值解科学研究和工程技术中的问题往往归结为求某个常微分方程的定解问题。很多常微分方程的定解虽然存在，但可能十分复杂难于计算，也可能不能用简单的初等函数表示，因此常求其能满足精度要求的近似解。常微分方程的数值解法常用来求近似解，它提供的算法能通过计算机便捷地实现。2结束本章主要讨论一阶常微方程的初值问题：其中f(x,y)是已知函数，(2)是定解条件。常微分方程的数值解：求y(x)在求解区间[a,b]上剖分点列x1,x2,…,xn的数值解y1,y2,…,yn，将其作为y(xi)的近似值。3结束§8.1欧拉(Euler)公式对问题最简单而直观的方法是欧拉方法。欧拉方法在
2、精度要求不高时，仍不失为一实用方法。8.1.1基于差商的Euler公式把区间[a,b]分为n个小区间，取步长h=(b-a)/n，节点xi=x0+ih,i=0,1,2,…,n，其中x0=a,又设y(x)为上述问题的解。向前差商：1.用向前差商近似又得设y(x1)的近似值y1，则Euler向前公式：4Euler显式公式如图，过点(x0,y0)的曲线是解y(x)。欧拉方法是在(x0,y0)作y(x)的切线，它与直线x=x1交于(x1,y1)，过(x1,y1)作过此点的积分曲线的切线，又与x=x2交于(x2,y2)，…如此下去，得到一条折线，欧拉方法就是用这条折线近似地代替曲线y(x)，故欧拉方
3、法有时也称欧拉折线法.2.Euler方法的几何意义5向后差商：3.用向后差商近似又得设y(x1)的近似值y1，则Euler向前公式：6Euler隐式公式7例：假定某公司的净资产因资产本身产生了利息而以4%的年利率增长，同时，该公司以每年100万的数额支付职工工资。净资产的微分方程为：(t以年为单位)用Euler公式预测公司24年后的净资产趋势。分别以初始值解：Euler向前公式，取步长h=1，分别取w0=1500,2500,3500代入即可。Euler向后公式，取步长h=1，分别取w0=1500,2500,3500代入即可。Euler向后公式的迭代算法退出条件：8中心差商：4.用中心差商
4、近似又得设y(x2)的近似值y2，则Euler中心差商公式：98.1.2Euler公式的收敛性1.局部截断误差对y(xn+1)在xn作Taylor展开则Euler向前公式的截断误差为：2.整体截断误差（略）10118.1.3基于数值积分的近似公式1.用矩形近似积分公式计算左矩形：右矩形：分别得到Euler向前和向后公式。2.用梯形近似积分公式计算梯形积分：得梯形公式：梯形公式的预估校正公式（改进的Euler方法）：12可合并为：13结束例1用欧拉方法，隐式欧拉方法和欧拉中点公式计算的近似解，取步长h=0.1，并与精确值比较解:欧拉方法的算式为：欧拉隐式方法在本题可解出方程，不必迭代，公式
5、为：欧拉中点公式是两步法，第一步y1用欧拉公式，以后用公式14结束本题精确解为y=e-x,计算结果（略）例2用欧拉公式和梯形公式的预估校正法计算：的数值解，取h=0.1，梯形公式只迭代一次，并与精确值比较.方程的解析解为:解:本例欧拉公式为：15结束梯形公式只校正一次的格式为结果（略）16结束§8.2龙格-库塔(Runge-Kutta)法欧拉方法是显式的一步法,使用方便,但精度较低.本节将构造出高精度的显式一步法：龙格-库塔法,简称R-K法.8.2.1二阶R-K法欧拉法的公式为：yi+1=yi+hf(xi,yi)i=0,1,2,…,n-1决定其精度的是函数f(xi,yi).如能改进这个函
6、数,就可能提高公式的精度.为此把公式改写成：yi+1=yi+h(xi,yi,h)i=0,1,2,…,n-1(8.1)选择函数(xi,yi,h),一种方法是用若干个点的函数值的线性组合代替(xi,yi,h),如：17结束其中cj,aj,bjl是待定参数,aj和bjl满足以上方法称为p级R-K法,选择cj,aj和bjl,可能使以上方法为p阶方法.显然欧拉法就是一阶R-K法.18结束二级R-K法的形式是:此时由二元函数的泰勒展开：其中所有的偏导数都是它们在点(xi,y(xi))的值,下同19结束又由于：所以代入(8.2)代入(8.1)而Taylor展开式20结束二式相减,得局部截断误差只
7、要c1,c2,a2满足以上方程,就得到一个二阶的R-K法.这是一个不定方程,有无穷多解.比如：21结束(1)取c1=c2=1/2,a2=1得这是梯形公式的预估-校正公式只迭代一次的形式,通常称为改进的欧拉法.(2)取c1=0,c2=1,a2=1/2得:这公式又称中点公式.我们还可以构造其他的二阶R-K法.22结束8.2.2四阶R-K法用类似的方法可以确定三级和四级R-K法的参数,构造出三阶和四阶的R-K法.但最常用的是四阶R-K法,
