数值分析--第9章常微分方程数值解

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1、第九章常微分方程数值解法许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题。如物体运动、电路振荡、化学反映及生物群体的变化等。常微分方程可分为线性、非线性、高阶方程与方程组等类；线性方程包含于非线性类中，高阶方程可化为一阶方程组。若方程组中的所有未知量视作一个向量，则方程组可写成向量形式的单个方程。因此研究一阶微分方程的初值问题(9-1)的数值解法具有典型性。常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。用解析方法只能求出线性常系数等特殊类型的方程的解。对非线性方程来说，解析方法一般是无能为力的，即使某些解具

2、有解析表达式，这个表达式也可能非常复杂而不便计算。因此研究微分方程的数值解法是非常必要的。只有保证问题(9-1)的解存在唯一的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。由常微分方程的理论知，如果(9-1)中的满足条件（1）在区域上连续；（2）在上关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使得则初值问题(9-1)在区间上存在惟一的连续解。在下面的讨论中，我们总假定方程满足以上两个条件。所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解在若干点处的近似值的方法。称为问题(9-1)的数值解，称为由到的步长。今后如无特别说明，我们总假定步长

3、为常量。建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：(1)用差商近似导数在问题(9-1)中，若用向前差商代替，则得用其近似值代替，所得结果作为的近似值，记为，则有这样，问题(9-1)的近似解可通过求解下述问题(9-2)得到，按式(9-2)由初值经过步迭代，可逐次算出。此方程称为差分方程。26需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。(2)用数值积分法将问题(9-1)中的微分方程在区间上两边积分，可得(9-3)用,分别代替,，若对右端积分采用取左端点的矩形公式，即同样可得出显式公式(9-2)。类似地，

4、对右端积分采用其它数值积分方法，又可得到不同的计算公式。(3)用Taylor多项式近似。把在点处Taylor展开，取一次多项式近似，则得设，略去余项，并以代替，便得以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中Taylor展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。上面我们给出了求解初值问题(9-1)的一种最简单的数值公式(9-2)。虽然它的精度比较低，实践中很少采用，但它的导出过程能较清楚地说明构造数值解公式的基本思想，且几何意义明确，因此它在理论上仍占有一定的地位。1简单的

5、数值方法和基本概念1.1Euler法与向后Euler法一、Euler法Euler方法就是用差分方程初值问题(9-4)的解来近似微分方程初值问题(9-1)的解，即由公式(9-4)依次算出的近似值。从几何上看，微分方程在平面上确定了一个向量场：点处的方向斜率为。问题(9-1)的解代表一条过点的曲线，称为积分曲线，且此曲线上每点的切向都与向量场在这点的方向一致。从点出发，以为斜率作一直线段，与直线交于点，显然有，再从出发，以为斜率作直线段推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线。因此Euler方法又称为Euler

6、折线法。26二、向后Euler法在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即，则得到如下差分方程(9-5)用这组公式求问题(9-1)的数值解称为向后Euler法。向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。Euler法计算的公式中不含有，这样的公式称为显式公式；向后Euler法计算的公式中含有，称为隐式公式。显式公式与隐式公式各有特点。显式公式的优点是使用方便，计算简单，效率高。其缺点是计算精度低，稳定性差；隐式公式正好与它相反，它具有计算精度高，稳定性好等优点，但求解过程很复杂，一般采用迭代法。为了结合各自的

7、优点，通常将显式公式与隐式公式配合使用，由显式公式提供迭代初值，再经隐式公式迭代校正。上面隐式公式中，在求解时，为已知，是方程的根。一般说来，这是一个非线性方程，因此我们通过构造简单迭代法来求解。迭代格式为由于满足Lipschitz条件，所以由此可知，只要，迭代法就收敛到解。1.2梯形公式利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(9-3)中右端积分，即并用代替，则得计算公式(9-6)这就是求解初值问题(9-1)的梯形公式。梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为由于函数关于满足Lipschitz条件，所以

8、其中为Lipschitz常数。因此，当时，迭代法就收敛到解。261.3局部截断误差与方法的精度为了刻画近似解的准确程度，引入局部截断误差与方法精度的概念。定义9.1假设在某一步的近似解是准确的，即（这个假设称为局部化假设）。在此前提下，用某公式推算