数值方法 第９章 常微分方程数值解 （上）

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1、第九章常微分方程数值解（上）§0引言一阶常微分方程初值问题（*）其中是平面某一区域D上的连续函数，如果，满足存在，并满足方程那么是初值问题（*），在上的解。对于（*）是否有唯一解？对还要附加一些条件。定义如果存在常数，使得对任有则称满足Lipschitz条件，L为Lipschitz常数。如果，那么有导数有界Þ满足Lipschitz条件如果存在常数，使得对一切及有则称对满足Lipschitz条件20定理（存在唯一性），设是在上的连续函数，而且对满足Lipschitz条件，则对任，初值问题（*）在上存在唯一的连续可微解。为了对初值问题进行求解，一些简单问题有解析解，大量非线性问题没有解析表达式

2、，因此，近似求解和数值求解常微分方程是非常必要的。首先对连续区间离散化为常数。离散点是等矩的也可以不等距的，下面仅讨论等距情况。在处的值记为，其近似值用表示§1简单数值方法（I）显式Euler方法Euler方法是求常微分方程初值问题的最简单办法。略去高阶项即设是初值问题的解，那么有从而有20左边称为差商，即用差商近似微商从开始，，再利用（*）得的近似值，再以作为的近似值，由（*）得到的近似值（1）这是计算初值问题近似解的公式，当已知时，可由公式（1）简单地求出，方法称为显式的，由上的近似值可求出上的近似值，称为单步公式，（1）称为显式Euler方法。（II）隐式Euler方法略去高阶项，并

3、设是初值问题的解，则有即写为同样用的近似值代入有（2）（2）的右端含有，不能直接由（2）可得，这种方法称为是隐式的。（2）称为隐式Euler方法；由于不能由直接计算出，而是要解方程，一般20用迭代方法，即取，或用显式求出作为即。当时，取这样方法称为迭代法考虑迭代收敛性：当收敛；称为迭代收敛条件（III）梯形方法在上对上式进行积分有等式右边采用梯形公式近似有用来代替就得到（3）此公式称为梯形公式，由于等式右边含有，因而是隐式方法。用它们来求时必须解方程，一般用迭代求解。20取，迭代公式为同样，当时，取；仿隐式Euler方法推导，梯形公式迭代收敛条件为例取计算到Euler方法用代入有梯形方法用

4、，代入有由于是线性方程，因此不用进行迭代Euler方法与梯形方法计算比较：20从数值结果看出，梯形公式比Euler公式好，但一般梯形公式需要进行迭代，因此做一步费时；“计算效率”比较，应从精度，耗机时等方面进行比较，还应从实际对精度要求来考虑。（IV）予估一校正方法为了消除迭代，出现了予估一校正的方法，先给出粗糙估计，然后再给出稍精确的求解，这是微分方程数值解常用方法。改进Euler方法予估校正或写成这公式称为改进的Euler公式，其精度比Euler公式好，比梯形公式稍差些。例子用Euler方法和改进Euler方法解初值问题。步长取；由0计算到3。20可以看出改进Euler方法较为精确（V

5、）显式单步方法基本概念已经引入了四种方法；Euler方法，隐式Euler方法，梯形方法，以及改进Euler方法，其中二种为隐式方法，Euler方法与改进Euler方法为显式方法，下面重点讨论显式方法，对于隐式方法在多步方法中讨论。其中，一般显式方法可以统一写成如下形式从开始进行计算，在处微分方程初值问题的精确解。与之差称为方法在处的整体截断误差，当然这与整个计算中每步情况有关，但一般求得较为困难，因此先考虑一步的截断误差：Euler方法20是典型单步方法，定义：称为显式单步法在处的局部截断误差，其中是微分方程初值问题在处的精确解。显然对于单步方法如果每步是精确的那么即为是精确值，用显式单步

6、法计算一步的误差，因此称为局部截断误差。关于误差仅讨论截断误差，舍入误差暂不讨论。考虑显式Euler方法按定义：20假定在[a,b]上有连续二阶导数，即。令局部截断误差，当时，与同阶，即是二阶的。下面讨论Euler方法的整体截断误差。。（插入项，引用局部截断误差）由于微分方程的初值问题解存在唯一，一个充分条件是关于y满足Lipschitz条件，即存在L有同样推导有20由于取，故注意到：，等比级数h是步长，当时，整体误差，即当h充分小时充分接近，可以看出的误差阶不同。隐式Euler方法(定义)仅讨论20与显式Euler公式大体相同。梯形方法下面仍考虑一般显式单步方法定义设是的准确解，对显式单

7、步法，则满足20的最大整数P，称为显式单步方法的阶Euler方法是一阶的相似地称（在多步法中）：隐式Euler方法也是一阶梯形方法二阶要考虑其方法的阶，必须求出局部截断误差，一般关心其展式第一项。定义若方法是P阶的，其局部截断误差为局部截断误差主项Euler方法局部截断误差主项为讨论改进Euler方法的局部截断误差要用到二维Taylor展开，20注意到：，可以看出20此方法是二阶的§2Rung-Kutta方法（I）用Ta