数值方法 第９章 常微分方程数值解 （下）

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1、§3单步法的收敛性和绝对稳定性（I）收敛性解出：数值求解微分方程初值问题解，总是要求是的近似，对于Euler方法，我们推导了整体截断误差。满足当时，有，我们注意到这个极限与通常不同。R中点应该是不动的，当，如果用那么这个极限过程当是同时的，而仍固定，这样的极限可以记为并称其为固定态极限（fixedstationlimit）例如：另一种情况55定义设初值问题，对y满足Lipschitz条件，如果单步方法（*）得到的解，对任，均有则称单步法是收敛的由收敛性可以推得，对于整体截断误差关于收敛性有：定理若初值问题的一个单步方法的局部截断误差为精确成立，并且对y有

2、Lipschitz条件：单步法收敛并有证明根据收敛定义因此必须估计事实上，，即估计仿Euler方法中整体截断误差的推导，可以插入项，55引入局部截断误差，局部截断误差有由定理条件这样递推下去有取，并且55并有具体例子Euler方法：由于对满足Lipschitz条件对也满足Lipschitz条件。应用定，理知Euler方法收敛。Runge-Kutta方法，对R=2的改进Euler方法。假定步长，取为关于的Lipschitz常数对于一般Runge-Kutta方法：55，记对满足Lipschitz条件(为权应大于0)于是，存在，当时有对于55还可以取，使当时有

3、同样可得：由此，取有（收敛性证明中，，因此可取h充分小）（II）相容性收敛性定理中要求局部截断误差若按变量在处作Taylor展开，那么有，而，也就是说是有界量这相当于含h的项必为零，即55满足微分方程，由此有定义单步法满足条件则称单步法与微分方程初值问题是相容的。事实上，相容的方法必有相容方法至少是一阶的。，则单步法是相容的相容单步法，若对满足Lipschitz条件方法收敛即移次来看：令时。即计算格式趋微分方程。相容本质的意义在于“差分格式”收敛于“微分方程”。（III）稳定性（绝对稳定性）用单步法55在求解时，舍入误差是不可避免的。稳定性就是研究舍入误

4、差传播问题，当求解过程中舍入误不增长，则称该数值方法是稳定的。设是带舍入误差的值，而是单步法精确计算而得的准确值。即在之间为使舍入误差不增长，则应有由于与有关，所以稳定性与方程（微分）右端项有关，为了测试某个方法的稳定性，一般把该数值方法用于一个“模型方程”（试验方程），（为复数，其解析解，来考察其方法稳定性选择模型方程原因。讨论方便，如果对这样简单方程不稳定，那么复杂方程也不稳定一般方程可局部化讨论先考虑Euler方法用相应误差方程55可以看，误差方程与原来单步法一致，这是模型方程是常系数线性方程而得到的，因此用于模型方程，仅考虑的增长与误差增长是一样

5、。即对于一般单步法用于模型方程，可以写成依赖于方法选取，Euler方法；先考虑一下的性态令有误差有误差有误差。有误差有误差如果很大，产生不稳定，由此给出定义定义单步方法解模型问题，若得到的解，满足，则称单步法是绝对稳定的。在复平面中，满足的区域，称为单步法的55绝稳定区域，它与实轴的交称为绝对稳定区间。对于每个方法是不同的，对于Euler方法有为复数，令，那么，这是以（-1，0）为圆心，1为半径的单位圆的内部，此为Euler法的绝对稳定性区域。区域与实轴交的区间为，此为绝对稳定性区间。对于改进Euler方法有绝对稳定性条件为此等价于即考虑区间当时，有，因

6、此，改进Euler方法的绝对稳定性区间为。对于4阶经典R-K方法55应用到方程代入有：，绝对稳定向后Euler方法用于55它是以（1,0）为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定性区间为。定义绝对稳定性区域包含整个左半平面，这种方法称为A-稳定的。向后Euler方法是A稳定的。§4线性多步法（I）基本概念显式单步法一般为即由上近似值上近似值，隐式也是由解方程（迭代）求出，即求上的近似值，仅与前面一个点的近似值相联系。提高精度的Runge-Kutta方法，一般也不很简单。另外提高精度办法是采用前面上的近似来求，这样的数值方法称为多步方法。初值问题右边采用S

7、impson求积公式，这样有55用来表示得计算，要用到以及相应的，并且公式中对是线性的。这样方法称为线性二步法。线性多步法的一般形式为其中常数，不全为零，等式两边同除，故可设要计算，假定均已计算出来，从而均已知。若，可以显式计算，为显式方法。若，为隐式方法。为求解，必须进行迭代可由相应显式给定，迭代收敛条件，55L为关于的Lipschitz常数线性单步法是线性步方法的特例，例如有不同可得各种显、隐单步法定义（局部截断误差）设是的解，步线性方法（*），称为线性步法（*）在的局部截断误差，按h展开的首项称为主局部截断误差。这个定义包含了线性步法（当然包含线性

8、单步法），特别包含了线性隐式单步方法。为主局部截断误差，相应的多步法称为P阶方法