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1、同方专转本高等数学核心教程第五章常微分方程（简记ODE）本章主要知识点�可分离变量的ODE�一阶线性非齐次常微分方程及推广�二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程�一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法dy基本型：=GxHy()()dxdy基本解法：=Gxdx()Hy()dy∫=∫Gxdx()Hy()dyx−y例5.1．=e,y(0)=1dxyx解：edy=edxyx∫edy=∫edxyx通解为：e=e+c将x=0,y=1得：yxc=e−1得e=e+e−1例5.2．(1+yy)′=ylnxdx(1+ydy)解：=lnxdxy1∫(+1)dy=∫lnxdx，y-142-第五章
2、常微分方程得：ln
3、
4、y+=yxlnxxC−+22例5.3．1−x(1+y)dy=x(1+y)dx(1+y)dyx(1+ydy)x解：=dx，=dx1+y21−x2∫1+y2∫1−x2122得：arctany+ln1(+y)=−1−x+C2x例5.4．已知fx()满足∫ftdt()+(x−1)()1fx=，求fx()。0x解：由∫ftdt()+(x−1)()1fx=知f(0)=−1。方程两边对x求导得0cfx()+fx()(+x−1)fx′()=0，分离变量求得fx()=，2(x−1)1将f(0)=−1代入得c=−1，fx()=−。2(x−1)2．可转化的可分离变量的齐次方程xy′=f
5、()yy方法：令p=⇒y=pxx()⇒y′=p+xp′xdpdpdx⇒p+x=f(p)⇒=。dxf(p)−pxdyx−y例5.5．=dxx+yy1−dyx解：=dxy1+xydp1−p令p=,⇒y=px⇒y'=p+xp'⇒p+x=xdx1+p2dp1−p1−2p−p⇒x=−p=dx1+p1+p-143-同方专转本高等数学核心教程(1+p)dpdx(1+p)dpdx⇒=⇒=2∫21−2p−px2−(1+p)x12⇒−ln1−2p−p=lnx+C，2y将p=代入即可。x222例5.6．xdy=(x+y)dxdyy2解：=1+()，dxxy令p=⇒y=pxy,′=pxp+′xdp2dp2⇒p
6、+x=+1p⇒x=1+p−pdxdx1dp(−)dpdx2dx∴=⇒=2∫∫1−p+px1232x(p−)+()22⎛1⎞2⎜p−⎟2⎝2⎠arctan=lnx+C3322p−1y即，arctan=lnx+C，将p=代入即可。33x二、一阶线性齐次方程（ODE）1．基本型y′+pxy()=qx()公式∫pxdx()−∫pxdx()公式：y=(∫qxe()+Ce)注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。3例5.7．xy′−2y=x2222解：y′−y=x，其中px()=−,()qx=x。xx-144-第五章常微分方程−2∫pxdx()=∫dx=−2lnxx∫pxdx()1
7、−∫pxdx()2e=，e=x2x2∫pxdx()xqxe()dx=dx=x∫∫2x∫pxdx()−∫pxdx()232由公式得，y=(∫qxe()+Ce)=(xCx+)=x+Cx。例5.8．xy'+y=sinx,y(π)=11sinx1sinx解：y'+y=,p=,q=xxxx∫p(x)dxsinx∫pxdx()=lnx，∫q(x)e=∫xdx=−cosxx−lnxC−cosxy=−(cosxCe+)=xC+1将x=π,y=1代入得1=，C=π−1，ππ−1−cosx∴y=。x2．Bernoulli方程ny′+pxy()=qxy()1−n方法：令y=z，方程可简化为dz+(1−nPx
8、z)()=(1−nQx)()dxdy2例5.9．x+y=xydx11dy1dz解：令=z，y=则，得=−2yzdxzdx1dz11⇒−x+=x22zdxzzdz⇒−x+z=xdxdz11⇒−z=−1,p=,q=−1dxxx-145-同方专转本高等数学核心教程1∫p(x)dx−1∫p(x)dx=∫−dx=−lnx，∫q(x)edx=∫−1dx=lnxxxlnxz=(lnx+c)e=(lnx+c)x1故，y=x(lnx+c)4223例5.10．y′+y=3xyx411−−1dy−3dz解：令y3=y3=z,⇒y=,⇒=，代入即得：34zdxzdx−3dz2121dz22+=3x⇒−z=−x
9、434zdxxzzdx3x−222即p=,q=−x,⇒∫p(x)dx=−lnx3x3247∫p(x)dx2−3∫q(x)edx=∫−xx3dx=−∫x3dx=−x3+c77231z=−(x3+Cx)3⇒y=7237/33x(−x+C)7三、二阶常系数线性ODE1．齐次方程y′′+py′+qy=0，其中pq,为常数。2求解步骤：1）特征方程λ+pλ+q=0，求根λ,λ。122）λ,λ互异实根，y=ceλ1x+ceλ2x，1212λ=λ，y=ceλ
