常微分方程简介new

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1、1/37附录一常微分方程简介已知yf(x),求y—积分问题推广已知含y及其若干阶导数的方程,求y—微分方程问题PekingUniversityPress2/37附录一第一节微分方程的一般概念几何问题引例物理问题微分方程的基本概念PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束3/37引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:dy2x①dxy2②x1由①得(C为任意常数)2由②得C=1,因此所求曲线方程为yx1.PekingUnivers

2、ityPress机动目录上页下页返回结束4/37引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,即求s=s(t).已知s0,t02由前一式两次积分,可得s0.2tCtC12利用后两式可得2因此所求运动规律为s0.2t20t说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束5/37微分方程的基本概念含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.常微分方程(本章内容)分类偏微分方程方程中所含未知函数

3、导数的最高阶数叫做微分方程的阶.一般地,n阶常微分方程的形式是(n)F(x,y,y,,y)0(n)(n1)或yf(x,y,y,,y)(n阶显式微分方程)PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束6/37微分方程的解—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解—不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.定解条件—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):(n1)(n1)y(x)y,y(x)y,,y(x)y000000dy2dy2x0.4dxdx2引例

4、1引例2dsyx12st00,dtt02022通解:yxCs0.2tC1tC222特解:yx1s0.2t20tPekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束7/37例1.验证函数(C1,C2为常数)是微分方程的解,并求满足初始条件dxxA,0的特解.t0dtt0解:2k(CsinktCcoskt)12这说明xC1cosktC2sinkt是方程的解.是两个独立的任意常数,故它是方程的通解.利用初始条件易得:故所求特解为xAcosktPekingUniversityPress机动目录上页下

5、页返回结束8/37例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q且线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程.解:如图所示,点P(x,y)处的法线方程为y令Y=0,得Q点的横坐标P即yy2x0QoxxPekingUniversityPress第二节目录上页下页返回结束9/37第二节附录一常微分方程的初等解法I、分离变量法II、初等变换法PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束10/37I、分离变量法一、变量可分离的方程二、一阶线性方程PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束11/37一、分离变量方程

6、的解法:g(y)dyf(x)dx①设y＝(x)是方程①的解,则有恒等式g((x))(x)dxf(x)dx两边积分,得f(x)dx则有②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,上述过程可逆,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束12/37例1.求微分方程的通解.dy2解:分离变量得3xdx说明:在求解过程中y每一步不一定是同解两边积分变形,因此可能增、

7、减解.3或得lnyxC1即3lnyxlnCC1令Ce(C为任意常数)(此式含分离变量时丢失的解y=0)PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束13/372例2.解初值问题xydx(x1)dy0y(0)1dyx解:分离变量得dxy21x两边积分得即yx21C(C为任意常数)由初始条件得C=1,故所求特解为2yx11PekingUniversityPress机动目录上页下页返回结束14/37练习:解法1分离变量yxeeCxy即(eC)e10(C<0)解法2令uxy,u故有u1eu

8、u(1e)e积分duu1euuln(1e