[理学]常微分方程 第五讲：全微分方程

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1、第五讲全微分方程与积分因子三、积分因子法一、全微分方程与原函数二、全微分方程判定定理与不定积分法四、小结1定义:即若例如全微分方程或恰当方程是全微分方程，一、全微分方程与原函数的左端恰好是某个二元函数的全微分，则称（1）为全微分方程或恰当方程，称为（1）的一个原函数。是方程的一个原函数。2容易证明，如果是微分方程（1）的一个原函数，则（1）的通积分为其中C为任意常数。于是，求解全微分方程的关键在于求出它的一个原函数。例如3我们通过观察寻找方程的一个原函数。对于一个一般的方程，怎样判断它是否是全微分方程

2、呢？若是，又怎样求原函数？45二、全微分方程判定定理与不定积分法定理：设函数M(x,y)、N(x,y)在xoy平面上的单连通区域D内连续可微，那么方程(1)是全微分方程的充要条件是在D内恒成立演示证明。67一般地，若为全微分方程，则它的通积分为从而求得一个原函数8解是全微分方程,原方程的通解为例2910解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例31112定义:问题:如何求方程的积分因子?3、积分因子法前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些则可利用

3、积分因子化为全微分方程。13我们用反推的办法来求积分因子为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但对于某些特殊情况，上式可求解。（2）为全微分方程1415以上求积分因子的方法称为公式法。16例1:求解微分方程：解郁无关17思考与练习：试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子例1:求解微分方程：例2:求解微分方程：18例3解则原方程化为可积组合法19原方程的通解为(公式法)观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式20受上述结论的启发通常我们经常可以选用的积分因子有：这种方法给我们又提供了一种

4、求解微分方程的方法---可积（微）组合法，请看下面的例子：21解将方程左端重新组合,有例4求微分方程原方程的通解为22解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例5求微分方程23解1整理得A常数变易法:B公式法:例6一题多解：24解2整理得A用公式:B凑微分法:25C不定积分法:原方程的通解为26作业：P38T1（1）（3）（5）,T2,T5拓展思维训练题：27若能从(1)解出y的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的办法求解。前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（）

5、一阶隐式微分方程是指第六讲一阶隐式方程的解法例1:试求解微分方程：28本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法。（1）不含y（或x）的方程（2）可解出x的方程（3）可解出y的方程若不能从(1)解出y的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。291、若方程（1）不含y，即30例13132例2：若方程（1）不含x，即则完全类似求解。例3：例4：332、若可从方程（1）解出x，即解法：这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出（1）的解。34例535363、若可从方程（1）

6、解出y，即解法：373839例64041例7424344小结（1）可解出y的方程（2）可解出x的方程（3）不含x（或y）的方程**借助于一些变量代换，可将隐式形式的方程化为显式方程。**借助于一些变量代换，将隐式形式的方程化为参数形式方程。45作业：P46（2）（4）（6）(8)(10)46