微分几何陈维桓第五章讲

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1、目录第五章曲面论基本定理67§5.1自然标架的运动公式67§5.2曲面的唯一性定理69§5.3曲面论基本方程71§5.4曲面的存在性定理74§5.5Gauss定理7680第五章曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss公式和Weingarten公式，曲面论唯一性定理，Riemann曲率张量，Gauss-Codazzi方程，曲面论存在性定理，Gauss定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss定理§5.1自然标架的运动公式设为正则曲面，是单位法向量.第一、第二基本形式

2、和是曲面的两个不变二次形式，与中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若和有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个中的刚体运动？(见定理2.1)答案是肯定的.为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记，.注意的上标不是乘幂的指数.如果要表示乘幂，则使用括号写成，……，().这样，的参数方程为.从现在起，用表示向量函数对变量的偏导数.采用Einstein求和约定，将和式简记为.(1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，

3、对该指标要从1到2求和.如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和.例如，，.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母：.(不能换成别的字母)在本书中，求和指标用希腊字母表示，它们的取值范围为.类似地，采用Einstein求和约定，向量函数的二阶微分可写成.采用Einstein求和约定，的第一、第二基本形式分别可以写成，，(1.6)其中，，(1.5)即，，，，，.80记.(1.7-8)用表示度量矩阵的逆矩阵，则有(1.9)实际上，.(1.10)采用现在的记号，曲面上每一点有一个自然

4、标架.下面来导出自然标架的运动方程.由于线性无关，可将它们的偏导数再用表示出来.设，(1.18)其中称为Christoffel记号(第二类克氏符号).令，(1.22)称为第一类克氏符号.由可知两类克氏符号关于指标都是对称的：，.用与(1.18)中的第1个式子作内积，得.(1.20)用乘(1.20)两边，再对指标求和，由(1.9)可得，即.(1.21)(1.20)和(1.21)说明是用将降标而得的；而则是用将升标而得的.类似地，用与(1.18)中的第2个式子作内积，得，(1.14)从而.(1.15)于是我们有自然标架的运动公式，(1.11)

5、，，(1.18)其中是第二类基本量，，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel记号被第一类基本量唯一确定.事实上，由得.返回(1.23)由可得，80即有.返回(1.24)于是由(1.21)，.(1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss公式，(1.18)的第二式称为Weingarten公式.Gauss公式的几何意义：的切向部分是，法向部分是.当曲面的参数方程给出时，利用Gauss公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel记号，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten公式的几何意义；矩

6、阵正好是Weingarten变换在切空间的自然基下的矩阵：.在正交参数网中，Christoffel记号的计算公式(1.28).例求曲面的Christoffel记号.解曲面的参数方程为.因此，，，，.其中，.因为，所以.另一方面.所以，，即有，，，，，.课外作业：习题4，5§5.2曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若和有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个中的刚体运动.定理2.1若，()有相同的第一、第二基本形式，且区域是连通的，则有中的刚体运动使得.80证明因为，，只需证明存在

7、中的刚体运动使得.(1)不妨设.设在该点两个曲面的自然标架分别为和.选取中的刚体运动使得在点成立.(2)[事实上，令，，.则由，可知，，.(3)同样，令，，.则由有相同的第一基本形式，有，，.(4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动将正交标架变成，其中，而是保持定向的正交变换，即.由定义，将向量变成向量.所以刚体运动将向量变成向量.同理，.又.]设是将经过刚体运动后得到的曲面，则的参数方程为.于是，从而，.由于保持定向的正交变换保持外积不变，有，.由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以的第一、第二基本形式分别为，.于是与有相同的第一、第

8、二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有；.80由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：，，，.设是任意一点.因为区域是连通的，可取一条中