微分几何 陈维桓.doc

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1、习题答案1p.41习题2.31.求下列曲线的曲率：(2)；(4).解.(2)，,,,,.(4)，,,，，，().4.求曲线在处的曲率和密切平面方程.解.设曲线的弧长参数方程为,，，.则满足题给的方程组，所以有.对上式求导得.(1)再求导，得.(2)在处，由(1)解出，.不妨设.所以.代入(2)得.所以，，.于是8.所以在处，曲率为，密切平面方程为，即.7.证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线.证明.设曲线的弧长参数方程为，它的Frenet标架为，曲率和挠率分别为.再设定点为(

2、常向量).由条件，和都在的过点的切线上，所以.故可设.对上式求导，利用Frenet公式可得.所以，是直线.□p.47习题2.41.计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2)；(4).解.(2)，,,，，，，.(4)，,,，，，，,().84.假定是正则弧长参数曲线，它的挠率，曲率不是常数，并且，(1)其中为常数.证明该曲线落在一个球面上.证明.由条件(1)，求导得.因为不是常数，上式说明.(2)设它的Frenet标架为.考虑向量函数.(3)对上式求导，利用Frenet公式和(2)式，得.所以是常向量.代入(

3、3)得到，.这说明在以为中心，以为半径的球面上.□10.设是单位球面上经度为，纬度为的点的轨迹.求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解.单位球面的参数方程为，.其中为经度，为纬度.将代入，得曲线的参数方程.于是，.，，.,.8所以，.p.55习题2.51，6.设正则曲线的曲率处处不为零.则下述命题是等价的：(a)是一般螺线(即的切向量与固定方向成定角)；(b)的主法线与固定平面平行；(c)的挠率与曲率之比是常数.证明.设曲线的弧长参数方程为，它的Frenet标架为，曲率和挠率分别为.(a)(b).设固定方

4、向的单位向量为.则是常数.因为，求导得到，即主法线方向与固定方向垂直.所以主法线与以为法向量的一个固定平面垂直.(b)(c).设固定平面的单位法向量为.则.于是.这说明是常数，其中.因为，可设.用与等式两边作内积，得是常数.再由是单位向量可知也是常数.不妨设，则上式成为求导得到.所以是常数.(c)(a).设是常数.令.则.所以是常向量，从而切方向与固定方向成定角.□4.证明：曲线和曲线可以通过刚体运动彼此重合.证明.对曲线作参数变换，可知是圆柱螺线：.()它的曲率和挠率分别为，.因此只要证明曲线的曲率，挠率

5、8，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合.直接计算可得，，，，，.，，.□注.此类证明题，一般是由等式确定一个函数，然后证明.p.63习题2.62.作正则参数曲线关于一张平面的对称曲线.证明：曲线和在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明.设曲线的弧长参数方程为，它的Frenet标架为，曲率和挠率分别为.再设是过定点，以为单位法向量的平面.由上图可见在方向的投影向量，从而在平面上的投影向量.同理，在方向的投影向量.用表示关于平面的对称点.由于是和的中点，，所以求导得8，.所以也是

6、的弧长参数.设的Frenet标架为，曲率和挠率分别为和.则.再求导，得.于是，.由此得.所以有，.□3.如果正则参数曲线的向径关于弧长的阶导数是，求它的阶导数.解.由Frenet公式可得p.69习题2.74.假定曲线和曲线的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线在每一点的主法线是曲线在对应点的次法线.证明：曲线和在对应点之间的距离为常数，并且曲线的曲率和挠率满足关系式.证明.设曲线和的弧长参数方程分别为和，它们之间的一一对应由函数关系给出.再设它们的Frenet标架分别为和，曲率和挠率分别为和.由

7、条件，可设，(1)，(2)其中.对(1)式两边求导，得.(3)再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得，所以为常值函数.这说明和在对应点之间的距离为常数.将(3)重写为8.(4)上式再求导，得.用(2)两边分别与上式两边作内积，得.因为，所以，即有.□8.证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明.1.以圆柱螺线的轴线为轴，建立空间直角坐标系.它的参数方程为.因为，，从开始计算的弧长为.由于单位切向量为，根据定理7.3，渐伸线方程为，

8、其中是任意一个取定的常数.记.则渐伸线方程可以写成.(1)它是落在与其轴线(轴)垂直的平面内的一条曲线.2.圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面内的一个圆.它的弧长为.单位切向量为.所以它的一般的渐伸线方程为.(2)在(2)中取，就得到上面的渐伸线(1).□注.在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线.p.75习题2.81.求下列平面曲线的相对曲率.(2)双曲线：，.(4)摆线：，.(6)曳物线：，.8解