微分几何教案第七讲

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1、具体如下：取M上的向量场X,对给定的有X(x)gTxM,于是d>(x)GT；M为关于X的齐次线性函数，有d)(X)(x)=d)(x)(X(兀))，xeM.对VAguC^M)和X/X,YgX(M),有飒/x+gy)=M(x)+g0y).下面设(即1•形式)，X],…，Xp为M上的向量场。(®A…A^)(X1?...,Xp)=E(―1)2)©(心).・・外(〉g0(p)=工(-1)S9)®(W)…Qp(E)(i「・ip)P=det(©(XQ),其中(p(p)是｛1,2,•••,/?｝的换群，即罟-I1aSp,(7｛，1，

2、…,2；｝w0(p),S(cr)是CT的逆序数。一般地，设a)=ZatiA…A©g%1P*卩d?(X],…,X”)=Eat...iG)iA・・・A©”(X],…,X”).并且，设。和&分别为M上的形式和q-形式，贝!J（处0）（X],…，兀+/，花3叫®…％"%…凡设—是M上兀处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为伉計和｛兀“」。设M上的卩-形式。⑴在这两个局部坐标系中分别表示为。（兀）=Za（x）dxa.A---Adxgvip=XbMdxajA-Adxj<-

3、..pjp三、夕卜微分对流形M上的0■形式/（即函数/gC^M））,由函数的微分，有ndf如）=近俎df为M上的1•形式，上式表明，"d”是严(M)到F(M)的映射。下面将"d“推广为F^M)到FP+M)的映射。定义：设U为流形M上含兀的坐标邻域，局部坐标为(兀)。如果M上的形式在U屮写成gy…山)叫「小叫,则定义外微分如下:da)=Sda：(x)Jx;人…人必：••‘11p‘1Ipm叫…：(兀)=EEdxi^djCiN…MX：.gpmdxj」1卩d:严(M)tF^(M)69—dCO性质：①对V6W,^G有+久2&

4、)=入〃血+兄2〃&.②对处F4(M),有d{a)e)二da)X&+(―1)加d&.③dod=o,Fr(M都有d(de)=0.③当时，对VowF"(M),必有do)=0.例考虑疋，取它的直角坐标系(x,y,z),则疋上所有微分形式为0—形式：e°=/(x,y,z),/eC°°(/?3).1-形式：a){=adx+bdy+cdz,a,方,cwC°°(R3).2-形式：co1=adyKdz+bdzAdx+cdxNdy,a,b,cwC°°(R3).3-形式：co3=adxXdyAdz,awC°°(R3).分别求它们的外

5、微分。庞卡莱弓I理及逆命题定义：设M是〃维微分流形，awF"(M)。如果da=0,则称0为闭微分形式(简称闭形式)。如果存在处F^(M)使得a=d&,则称0为恰当微分形式(简称恰当形式)。显然有定理(Poincare，弓、理)设a是M上的形式且是恰当的，贝!U必是闭形式。定理(Poincare'弓理的逆命题)设开集UuM可收缩为一点，。是上的。-形式，若亿是闭的，贝!U是恰当的。对偶映射定义:设M,N分别为m维和n维微分流形，F:MtN是C®映射。定义映射F*:F"(N)tFP(M),(0

6、使得对任何xwM,X,…,XpWT’M有(F*(e))(兀)(X

7、,…,Xp)=e(F(x))(E(QX

8、,…,冃(兀)Xj其中E即〃F,是F的微分。F称为映射厲的对偶映射。性质：(1)F*是线性的,即对目入，入wFp(N),有F(也+也)=占矿⑷)+入矿@)•⑵对有F(eA&)=F(e)AF(&).(3)doF*=F”od,即对FP(N)有d(F/)=F(de).(4)若F:MtN,G:NtP是L的，贝Ll(GoF)*=F*oG*.局部地，设Q,0)和(匕妙)分别为M和N上包含%和y=FCx)的坐标图，F(C7)

9、(zV,局部坐标分别为k｝和｛儿｝。P-•/AAy•nl-(Fpz•p・y/•电/l如果设则FSS)§5.8流形上的积分一、体积元与可定向流形设民，…，戈｝是卍的一个直角坐标系悄,…,e；｝为兀方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取疋的一个形式：3=dxA---Xdxn,显然0(6,…,e：)=det(dxf.(幺：))=1.它给出以为边构成的〃维正立方体。一般地，若｛©，…，匕｝是R"的任一个有序基，贝Un*ei=^aueJ・7=1于是&(q,・・・,匕)=(血A---A九)(弓,…,匕)=det(6^(w))

10、=det(a.)・可将之视为以(弓，…,匕)为边的平行多面体的“有向体积”。若det(a.)>0(<0)则称基底｛弓,…,/｝与标准基忖,・..,匕［的“定向相同(相反)”。e=dx^-Xdxn称为R"的标准体积元。如疋上，取弓=(1,0),勺=(0,1).(如图示)0[e[e2']=[e[.e2]〜det(a.)=-l<0.一般地，在〃维实