微分几何教案第一讲

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1、E3中的曲线论r:re(a,b)r(t)=(x(z),y(t),z(Z))eE'=矣0时，r(z)称为正则的。定义弧长：s(t)=^rtWt,rt)=Vx，2(0+，2(，)+z，2⑺Remark:弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择）。事实上，设r=/⑻，＜⑻〉0，么=^＞。）。贝0’(w)=——r(^?(w))dur=r（w）=r{（p{u）ddrdtdtdu以M为参数的弧长:s(w)=Iru)du=^

2、厂’⑴识’⑻咖=f卜’⑴I(Pu)duIAj£/L£zL000=ff

3、r'(O

4、Jr’0=冲)以f为参数的弧长。当以弧长为

5、参数时，^=^=

6、r'（5）

7、,即I，⑴

8、二1。dsds设曲线r{t）=（cht，sht，t），rt）=（s/iZ，c/^，l），

9、r'（Z）

10、=y[2cht显然该曲线不是以弧长为参为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。对于不同的曲线其弯曲程度可能不同,如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。曲线rO)以弧长S1为参故

11、r'O)

12、=

13、，'(^十Av)

14、=1o

15、r'(^+As)-r'(5)

16、=21rs)

17、

18、sin%

19、=21

20、sin=^>Irs+As)-rs)

21、IaTisin1^1lim

22、r'Cv+Av)-rV)

23、=limlsin

24、A5

25、Av—>0=(

26、r"⑴I)

27、，，附=々曲率。例1、直线：r(5)=us+v,u,v为常向量vi

28、—19k—0.例2、551r(5)=(flcos—，6Zsin—，0)，k=—.aaa对于一般参数Ar(Z)=(x(Z)，y(r)，z(Z))，则:Kt)⑴xr"(z)

29、IrW挠率：当空间曲线不是平面曲线时，即有扭曲时，考虑扭曲程度，即曲线偏离平面的程度。r(5)=r'(5),s为弧长参数。设Ts)=kN(s),为曲率，2VO)为主法向量。设

30、帅)=rcv)x；v⑴，则B⑴也为单位向量。r-B=o而于故Bl//BxT=N.设卵）=-r⑴W），称⑽为曲线的挠率例求圆柱螺线r（^）=（rcoscos,rsincos,hcos）的曲率和挠率，h和仞=（厂2+/z2）2是常数。I/⑴1=1，S为弧长。T(s)=rs)=co{-rsino)s,rcoscos,h)Ts)=-692r(coscos,sin做，0)，帥n均为常数。r（5）=coh可得到:彻=（r（5）），*为弧长参数。

31、r⑴

32、若以f为参数：例求圆柱螺线州）=dt'dt15dt3drd2rd^dt2（acos~，6zsin0，/^）的曲率

33、和挠率—oo

34、=1运动，IAM0仿射变换,

35、A

36、=-1镜面反射。A=I（单位矩阵）为平移变换，rcos^sin60^时为旋转变换。-sin沒cos<90<001,’dx(dx'dtdt办，=Adydtdtdz、dz、dt)ydt)

37、<(川2=〈<(0,<⑴〉=〈心，(0,A/⑴〉=(Ar，(0)T#(0=r'(f)VATAr'(0=r*

38、“))T，(0=〈厂'⑺，厂’⑺〉=1rW=^>l^'(01=1厂'Wl因dx}^(dx^/12axdtdtdt2dt2=Ady%d2y}=Ad2ydtdt7dt2dt1dz'dzd2z}d2z、dt)dtj、dt2)drdr—l-l—Tdtdtd2r..d~rdt2dt2I，同理&=z：略（作业）。T—T§3Frenet公式由前面曲线：r⑴=⑽)，⑽，办)V为弧长参数.切向量：r(5)=r*(5).rcy)=々⑴砌，Bs)=-t(s)N(s),B(s)=T(s)xN(s).2V⑴=B⑴xr⑴Ns）=B'（5）xr（5）+B（5）xr（

39、5）=-r（s）NxT+BxkN=7TxN-kNxB=rB-kT——kT+tB于是得：'r=QT+k-N+0BN'=-k0TNk0-T0,对于曲线r⑴在每点S处，r⑴，TV⑴，B⑴两两单位正交，称｛r⑴;r⑴焉)，忍⑴｝为曲线在s处的Frenet标架。应用:例设r⑴为单位球面V上的一条曲线，s为弧长参数，Lr均不为零。则十_(»证：设r=aT+bN+cB,r⑴在52上，则

40、r（5）

41、=1,=>r'（5）-r（5）=0,即r-r（5）=0.故Q=r-T=aT•T+bNT+cB

42、T=aXT、r⑴+TT=0,即kr⑴.N（s）=-l^rN=--.k故r-N=b