微分几何教案 第四讲

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1、设曲面为区域D上函数，为上的法向量。设曲面则的面积为为的第一基本形式的系数。利用得故17故由此可得：定理曲面S为极小S的面积达到逗留值，即证明：若S极小，即则有若我们可以证明否则，不妨设使得因任意，取则因H连续，故存在的邻域使得故17与矛盾。故例将悬链线绕轴旋转一周后得到悬链面：§21曲面的基本方程：17方程。方程。取正交曲线网（即），则由方程得：即曲面的曲率由第一基本形式所确定。由第一基本形式决定的量称为内蕴几何量，故K为内蕴几何量。曲面论基本定理：在单连通参数区域中给出两组函数关于对称，正定且满足方程，则存在曲面，以为第一、二基本形式。17§22测地曲率、测

2、地线设为上以弧长为参数的一条曲线，我们已得到的切向量的曲率向量测地曲率向量，为的曲率在切平面上的投影向量。当时，因线性无关这样的曲线称为测地线。另一方面，显然而由故设且：曲线在处的测地曲率，且由可得：以下给出计算测地曲率：因17取则设故故17因单位正交得：称为公式，只与第一基本形式有关，17故为内蕴几何量，此公式以后很有用。§23测地线为曲面上的一条曲线，若=0，则为测地线。此时线性无关得：当为测地线时，例：球面上的所有大圆弧都是测地线。：在局部范围内，测地线是连结两点之间的最短线。§24法坐标系、测地极坐标系、测地坐标系直角坐标系以为起点，以为初始向量作测地线

3、，在测地线上取一点，使得到17的测地线弧长为。（当很小时，可做到）这样，我们得到了曲面在点的切平面中的向量到的一个局部的对应，我们称这个对应为指数映照，记为我们把的分量作为曲面上点的新坐标，称此坐标系为法坐标系。此时，此时，测地极坐标系在法坐标系下取我们称为以为极点，为极轴的测地极坐标系。此时，且17测地坐标系曲面上可选取如下的坐标系，设为上曲线，并以为参数，过的每点可作出与正交的测地线，令此测地线的参数为，我们称为曲面的测地坐标系，此时有以下利用测地极坐标系来讨论曲率的曲面。在测地极坐标系下，故(ⅰ)当时，可得此时，此为平面或者可展曲面。（ⅱ）当由此可解得：1

4、7例如球面或球面的一部分。（ⅲ）当（例如伪球面）可得从内蕴几何的角度来看，两个具有相同曲率的曲面总是互相等距的。故平面作为的曲面的代表，球面作为的曲面的代表。可以证明：在局部范围内，测地线上连结两点之间的最短线，但大范围里，测地线不是连结两点之间的最短线。例如：球面上大圆的优弧不是连结两点之间的最短线。§25定理我们将利用公式得出公式。17设：为曲面上的以弧长为参数的曲线，取为正交的曲线网，为曲线在弧长为处的切向量与曲线正向夹角。由公式有测地曲率：沿曲线积分一周得：而（利用）17（取正交曲线网时，）→S的面积元素。此处因此有此为曲面上光滑闭曲线的公式。若为上分程

5、光滑闭曲线夹角为则有17注：因积分有意义，也有意义，只是最后一项不可用定理，因不封闭，但封闭，可用定理！于是：由上面得到由指标定理的公式代入上式得：此为分段光滑时公式。17若中均为测地线，则故有为测地多边形在角点处的外角。设为内角，则，使得当为平面时，得到了通常的多边形内角和公式，特别的时，当为球面，半径为为的面积。当为伪球面时，平行移动：欧氏空间中，一个向量从一点移到另一点其大小和方向不变，而对于中曲面上两点的向量和，则通过通常的欧氏空间的平行移动，移至点，再往所在的切平面上作投影得向量其中17为联络系数。设为在点的曲线，向量为沿曲线的向量场，附近另一点处向量

6、将其平行移动到后，所得的向量为（略去的高阶）称为沿曲线的绝对微分。若沿曲线的绝对微分则称处的向量就与处的向量平行，因而称这个向量场沿曲线是平行移动的。因而沿曲线平行移动的条件可写为为曲面的参数）。特别地，当曲面17为平面，而参数取笛卡儿直角坐标时，因，上方程化为即的分量为不变，与欧氏空间中平移一样！当以为参数曲线的单位切向量沿曲线平行移动时，称此曲线为自平行曲线：当以弧长为参数的自平行曲线：称为测地线。17