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1、一、填空题：1.设有曲线x=Zcost.y-elsinZ,z=el,则当r=0吋的切线方程为x-1=y=z-1。2.设曲曲'5:r=r(w,v)的第一基木形式为/=du2+sinh2udv2,则其上的曲线w=v从、el—£*_/v=v,到v=v2的弧长为
2、sinh%-sinhv21o(这里sinhr=)3.设曲凼S:r=r(n，v)在某点处的第一基木景为£=G=l，F=0，第二基木量为乙=AM=0,7V=/),则曲而在该点沿方向((/)=(1:2)的法曲率为<二。4.设曲lMS:r=r(w，v)在某点处的第一类基木量为£=1，G=1，且曲酣在该点的切昀景z;，rv相互平行，则F
3、在该点等于」5.设曲面5:r=f0/，v)在某点处的第二基本量为L=l，A/=0,7V=-l，则曲面在该点的渐近方向为G/)=(l:±l)。6.设曲而的参数表示为r=r(w,v)，则
4、rnxi;，
5、用第一基本量表示为a/£G-F2。7.曲线%=tsint,y=tcost,z=te1在原点的切叫景为a=(0,——，——)，主法叫景为22卜、H孕、'融法湖门'5ooJ55-)二、计算题1.圆柱螺线的参数表示为F=(cosz，shu,z)。计算它在(1，0,0)点的切线、密切平而、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。(35分)解：r(0)={1,0,0},r(0)={0,1,1},
6、z^(O)={-1,0,0},所以oiir-z=o法平面:(x-i)o+(y-o).i+(z-o)i=o,Bpy+z=o密切T•面:X-l00，即一y+Zd-100r(Z)={cosZ，sinZ，Z}，F’(z)={-sinz,cosr,l}r*(Z)={-cosf,-sinZ,0},r^(Z)={sinr,-cos^,0}
7、r
8、=V2,产xF"={sinz，一cosZ,l},
9、rzxr*
10、=V2,(厂X?F’x,I门32.计算抛物而z=x2+;v2的第一K•本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点（35分）解：r={x,y,x2+y2},rx={l,0,2x},ry={
11、0,l,2y},XX{0,0,2},^{0,0,0),^{0,0,2)n=^-=^i所以有E=rx2=l+4xF=rxry=4xy,G=r}2=1+4/L=V=7lZ47+4yM=7x、.a=Q，Nyjl+4x2+4/ll/=(1+4x2)tZx2+Sxydxdy+(1+4y2)t/)’27l+4%2+4y2aJi+4x2+4)，2k=LN^M_=LG-2MF+NE2+4x2+4yEG-F2(l+4x2+4y222(£G-F2)~(1+4x2+4y2)3/在脐点有//=/l八由此得x=v=o,即唯一的脐点是原点3.计算正螺面r=（wcosv，wsinv，av）的高斯曲率、平
12、均曲率解yh=(cosv，sinv，0),rv=(-usinv，wcosv，g),uu=(0,0,0)，r“v=(-sinV，cosV，0)，vv(—wcosv，一wsinv，0)；xrv=cosvsinv0-usinvucosva=(asinv,-acosv，w)_ruxrv._(Gsinv，-“cosv，w)
13、rHxrv
14、yja2+u-E=ruru=,F=rz/•rv=0,G=rv-rv=^z2+w2,L=r•…•n=0，M=r-n=Ultuv，N=rvv-n=OLN-MK==——EG-F2(a2+u22*1EN-,FM+GL12EG-F1l.(“2+«2)-02=03
15、•求曲线r(Z)=(«cosht,asinht,at)fKj曲率和挠率，其中cosht=e+e2-z-f14解由一般参数的曲率公式zr⑴二和挠率公式r⑴二以及rt)=(6/sinht,acosht,a),(，)=(«cosht,asinh，，0)sinhr，“coshZ,0)有
16、r’
17、=y/2acosht,
18、r’xr"
19、=yfla2cosh2Z，(/，/•’，r，=a2,r(t)=2^zcosh212“cosh4.计算抛物而z=x2+y2的高斯曲率和平均曲率.解设抛物凼的参数表示为r（x，y）=（x，y，x2+;v2），则rx.=（l，0,2x），r、.=（0，l，2y）XX
20、=(0,0,2),r9,=rvx=(0,0,0),~=(0,0,2),rvXrv=102x=(-2x,-2y,l),n012y(-2x，一2)’，l)〜xr'，
21、J4x2+4)，2+1£=rv•rv=1+4x2,F=rx•r、=4xy,G=•VVL=rxxnx/4x2+4)?+1M-r■/!=(),N=r','、•n=A).V.V-0LN-M2=4/+4/+1"=4EG-F1一(1+4x2)(1+4)，2)-(4m)2一(4;i2+4/+1)2’1GL-1FM+EN_4x2+4j2+22
