资源描述：
《微分几何试题库.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）2、二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvB(u,v)dv20总表示曲面上两族曲线.（）3、若r(t)和s(t)均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）4、向量函数s(t)具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，s(t)的微商与s(t)平行（×）5、等距变换一定是保角变换.（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.
2、（）7、常向量的微商不等于零（×）8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×）9、对于曲线s=s(t)上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√）12、单位切向量的模是1（√）13、每一个保角变换一定是等距变换（×）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.（）二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族
3、是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18.设给出c1类曲线:rbr(t)dtr(t),atb.则其弧长可表示为a19、已知r{cos3x,sin3x,cos2x}，0x，则1{3cosn3si,,4}xx，25{sinx,cosx,0}，1{4cosx,4sinx,3}，6，8。525sin2x25sin2x20、曲面的在曲线，如果它上面每
4、一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面r={(t)cos,(t)sin,(t)},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线.～23.任何两个向量p,q的数量积pqpqcos(pq)24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__.25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”).26.若曲线(c)用自然参数表示rr(t),则曲线(c)在P(s
5、0)点的密切平面的方程是(Rr(s0),r(s0),r(s0))027.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28.杜邦指标线的方程为Lx22MxyNy2129、已知曲面r{ucosv,usinv,6v}，u0，0v，则它的第一基本形式2为22212du(u36)dv，第二基本形式为u2dudv，高斯曲率36K36，平均曲率H0，点(1,0,0)处沿方向du:dv2的法曲(u236)2率2437，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为6,6。151737372⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33．求曲线xtsint,ytcost,ztet在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r{tsint,tcost,tet},r(t){sinttcost,costtsint,ettet},r(t){2costtsint,2si
7、nttcost,2ettet}在原点处t0r(0){0,0,0},r(0){0,1,1},r(0){2,0,2}.在原点处切平面的方程为:(Rr(0),r(0),r(0))0即XYZ0法平面的方程为:(Rr(0))r(0)0即YZ0切线方程为Rr(0)r(0)即XYZ01134、求曲面zx3y3的渐近曲线。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解设r{u,v,u3v3}则ru{1,0,3u2}，rv{0,1,3v2}，nrurv1{3u2,3v2,1
8、}
9、rurv
10、9u49v41ruu{0,0,6u}，ruv0，rvv{0,0,6v}Lnruu6u，Mnruv0，Nnrvv6v9v9u49v419u441因渐近曲线的微分方程为Ldu22MdudvNdv20即udu2vdv2或uduvdv033C或(33C渐近曲线为u2v2u)2v22135.求双曲抛物面r{a(uv),b(uv),2uv}的第一基本形式解:r{a(uv),b(uv),2uv},r
