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1、微分几何试卷及答案【篇一：微分几何测试题集锦(含答案)】t>一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。???⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在p点的切向量为?，主法向量为?，则过p由?,?确定的平面是曲线在p点的___密切平面__________。⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。⒌曲线r?r(t)在t=1点处有??2?，则曲线在t=1对应的点处其挠率
2、?(1)。⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__一般螺线__⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___c___。a、直线b、平面曲线c、球面曲线d、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在p(t)点的曲率为k,挠率为?，则下列式子___a___不正确。a、k?13r??r??r?2b、k?对于曲r??r??r?3c、k?rd
3、、??的第一基本?r?r??r????2?r??r???形式、面i?edu2?2fdudv?gdv2,eg?f2__d___。a、?0b、?0c、?0d、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1,⑴在点???的切线和法平面。?2?⑵曲率和挠率。22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。《微分几何》测试题（二）1．若向量函数r?r(t)的终点在通过原点的一条直线上
4、，则()a．r?(t)是定长的；b.r?(t)是定向的；c．r?(t)?1；d.r(t)?2.2．对于向量函数r(t)，若r(t)?r?(t)，则()a．r(t)是定长向量；b.r?(t)定长向量；c．r(t)是定向向量；d.r?(t)是定向向量.3．设a,b均为非零向量，且ab?0，则（）Ａ.a,b线性相关；Ｂ.a,b线性无关；Ｃ.a可以由b线性表示；d.b可以a由线性表示.4．挠率??0,曲率k?2的曲线是()a．半径为4的圆；b.半径为的圆；14c．半径为2的圆；d.半径为的圆.5．空间曲线的形状由()决定a．由曲率和挠率；b.仅由曲率；c．仅由挠率；d.由参数的选
5、取.6．曲率是常数的曲线()a．一定是直线；b.一定是圆；c．一定是球面上的曲线；.答案a,b,c都不对.7．设s是球面，则()a．s上每一点是双曲点；b.s上每一点是抛物点；c．s上的圆的?指向球心；d.s上的测地线的?指向球心.8．若曲面s在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为()的球面贴合a．；b.2；c.；d.4.9．圆柱螺线r?{acost,asint,bt}在任一点的切线与z轴的夹角?()12141214a．为；90?b.0?；c.与t有关；d.与b有关.10．设非直线的曲线c是曲面s:r?r(u,v)上的测地线，则有()a.c在每一点?∥n;b.c在每一点?
6、?n;c.c在每一点?∥n;d.c在每一点???n.1．向量函数r?r?t?满足??r?t?dt,r?t?,r??t???0，则必有一常向量a，满足a⊥r?t?.2．如果曲线c:r?r?t?的所有向径共面，则r??t?必与某一固定向量垂直.3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.()4．直纹面上的直母线一定是曲率线.（）5．若曲面s与一个半径为r的球面沿一个半径为r?0?r?r?的圆c相切，则c是s上的测地线.6．如果两个曲面s1与s2之间的一个对应关系，使得它们在对应点有相同的高斯曲率，则s1与s2等距等价.7．设曲面s：r=r?u,v?,如果l:e?m:f,则v—线是曲率线
7、.【篇二：微分几何练习题库及参考答案(已修改)】txt>一、填空题1．极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．t?22．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))?．t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?，?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，则2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.264．已知r?(t)?a（a为常向量），则r(t)?ta?c．15．已知r?(t)?t
