微分几何习题及答案解析.pdf

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1、微分几何主要习题解答第一章曲线论§2向量函数5.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t)×r'(t)=0。分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=λ(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向量函数，λ(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。证对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=λ(t)e(t)，若r(t)具有固定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=

2、λ'(t)e，所以r×r'=λλ'（e×e）=0。反之，若r×r'=0，对r(t)=λ(t)e(t)求微商得r'=λ'e+λe'，于是r×2r'=λ（e×e'）=0，则有λ=0或e×e'=0。当λ(t)=0时，r(t)=0可与任意方22222向平行；当λ≠0时，有e×e'=0，而（e×e')=ee'-(e·e')＝e'，（因为e具有固定长，e·e'=0），所以e'=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。6．向量函数r(t)平行于固定平面的

3、充要条件是（rr'r''）=0。分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使r(t)·n=0，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。证若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且r(t)·n=0。两次求微商得r'·n=0，r''·n=0，即向量r，r'，r''垂直于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0。反之,若（rr'r''）=0，则有r×r'=0或r×r'≠0。若

4、r×r'=0，由上题知r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'≠0，则存在数量函数λ(t)、µ(t)，使r''=λr+µr'①26微分几何主要习题解答≠令n=r×r'，则n0，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得n'=r×r''=µ（r×r'）=µn，于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)⊥n，即r(t)平行于固定平面。§3曲线的概念3.证明圆柱螺线r={acosθ,asinθ,bθ}(−∞θ+∞)的切线和z轴作

5、固定角。证明r'={-asinθ,acosθ,b},设切线与z轴夹角为ϕ,则cosϕr'⋅kb==为常数，故ϕ为定角（其中k为z轴的单位向量）。

6、r

7、

8、e

9、a2+b210.将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。t22s解r'={-asint,acost,b}，s=∫

10、r'

11、dt=a+bt，所以t=，022a+bssbs代入原方程得r={acos,asin,}222222a+ba+ba+b§4空间曲线1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z=bt在任意点的密切平面的方程。

12、解r'={-asint,acost,b},r''={-acost,-asint,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为x−acosty−asintz−bt−asintacostb=0，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0.−acost−asint0t2.求曲线r={tsint,tcost,te}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。27微分几何主要习题解答tt解原点对应t=0,r'(0)={sint+tcost,cost-tsint,e+te}={0,1,1}，t=0ttr''

13、(0)={2cost+tcost,cost-tsint,2e+te}={2,0,2}，t=0xyz所以切线方程是==，法面方程是y+z=0；011xyz密切平面方程是011=0，即x+y-z=0，202x+y−z=0xyz主法线的方程是即==；y+z=02−11xyz从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式==。11−13．证明圆柱螺线x=acost，y=asint，z=bt的主法线和z轴垂直相交。证r'={-asint,acost,b},r''={-acost,-asint,0}，由r'⊥r''知r''

14、为主法线的方向向量，而r''⋅k=0所以主法线与z轴垂直；主法线方程是x−acosty−asintz−bt==costsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x=cosαcost,y=cosαsint,z=tsinα的副法线的正向取单位长，求其端点组成的