《微分几何》陈维桓习题及答案

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1、§6.1测地曲率1.证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为，，纬线即—曲线：（常数），其测地曲率为为常数。Þ=+2、证明：在球面，上，曲线的测地曲率可表示成，其中是球面上曲线的参数方程，是曲线的弧长参数，是曲线与球面上经线（即-曲线）之间的夹角。34证明易求出,,,因此，而，故。3、证明：在曲面的一般参数系下，曲线的测地曲率是，其中是曲线的弧长参数，，并且，特别是，参数曲线的测地曲率分别为=+=æö++æö++ç÷ç÷èøèø，。证明设曲面参数方程为，曲面上的曲线的参数方程为，为的弧长参数；34为上沿的法向量；曲线，而，，，æöæö+ç

2、÷ç÷v，代入计算vvvv，由此得到34vvv，以上是测地曲率的一般计算公式。换回参变量，即可得到结果。=-=4．若曲面：上曲线:u=u(t),v=v(t),t为曲线上的任意参数，试导出测地曲率的计算公式。解由于，而，所以，所以；记，又，，34从而，，由此得到：。5、求椭球面上由平面所截的截线在点的测地曲率。6、求椭球面上由平面所截的截线在点的测地曲率。vvv6、2测地挠率1、对曲面上的曲线的测地挠率，有.证明证法一，将代入，利用拉格朗日恒等式，得，将，代入，得34；证法二，由，得从而34，将，代入，得.2、设是曲面上的曲线，证明：是曲率线的充分必要条

3、件是。证明设是曲率线，于是是主方向，则有，从而；若，则有共面，于是有，而，必有，于是，即得是主方向，是曲率线。3、曲面上一点处的单位法向量为.设曲面上曲线，以表示与的夹角.命，设曲面上曲线在点处的挠率和测地挠率分别为，，则有。显然，如果沿曲线有常数，则对此种曲线有.证明根据向量之间的关系，易得，，34，利用上述关系式及曲线论的Frenet公式，代入计算，得。4、设曲面：上的坐标曲线构成正交网.曲面上曲线的切方向与的夹角为，则有.证明在正交坐标曲线网下，我们有，，将它代入测地挠率的计算公式，计算得，，，34故有.5、证明：曲面上任何两正交的方向的测地挠率之

4、和为零.证明在曲面上选取正交坐标曲线网，曲面方程.曲面上两正交方向与的夹角分别为和，由于，，所以有.选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为，由欧拉公式，得，从而，于是.6、证明：曲面上一点沿一方向上的法曲率为和测地挠率之间满足:34.证明由，，经过计算，可得，此即.7、证明：极小曲面曲面上一点沿一方向上的法曲率为和测地挠率与曲面的Gauss曲率满足:.8、证明：若曲线为过曲面上一双曲点的渐近曲线，且曲率，则曲线在点的挠率和曲面在点的Gauss曲率满足:.证明由条件可知，，利用，即得.9、试证明:在曲面的双曲点,主方向平分两渐近方向.证:设曲面为S,渐近

5、方向所对应得单位方向向量为,取在主方向下所对应的标准正交基为,则，其中是按的定向从到的角,则沿的法曲率由Euler公式,有，因为是双曲点,不妨设,又所对应的方向为渐近方向,所以，解得，从而可知主方向平分两渐近方向.10、证明：假定曲面上经过一双曲点的两条渐近曲线34在该点的曲率不为零，则这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等，符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的高斯曲率.证明这两条曲线在该点的挠率分别等于各自的测地挠率，选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为，且其中一条渐近曲线与成角，则另一条渐近曲线与成角，于是两条渐近曲线在该点的测地挠率分别为，

6、，显然，，由于，所以，于是有.§6.3测地线1.证明:柱面上的测地线必定是定倾曲线.证明不妨设柱面的直母线与轴平行，故曲面方程可取为，其中为准线的弧长参数。现在求形如的测地线方程。此时，，，34对于测地线，有，于是，可得，由于为准线的弧长参数，所以有，从而，所以，因而；由此，测地线族的方程为，，即测地线与轴（即直母线）成定角，从而形如的测地线为定倾曲线。又因直母线也是测地线，且与轴平行，故直母线也是定倾曲线..故柱面上的测地线必定是定倾曲线.qv2、设曲线是旋转面上的一条测地线，用表示曲线与经线的交角。证明：沿测地线成立恒等式常数。ï+î证明经线即—曲

7、线：（常数）；×，；由测地线方程，有34从而，可得，于是常数。Þ=3、设在旋转曲上存在一条测地线与经线交成定角q，并且q¹°°证明：此旋转面必为圆柱面。v证明设旋转面方程为，经线即—曲线：（常数）；，；由测地线方程，有，由于，所以，又常数，于是，故常数，因此曲面为圆柱面。4、证明：(1)若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。（2）若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线。（3）若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线,则它必定是曲率线.34证明:（1）因为所给曲线是测地线，所以；又因为所给曲线是渐近线，所以，而，所以，故

8、所给曲线是直线。（2）设曲面曲线是既是测地线，又是曲率线；则若为直线，当然是平面