微分几何 陈维桓 习题答案2.doc

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1、习题答案2p.58习题3.12.在球面上，命，.对于赤道平面上的任意一点，可以作为一的一条直线经过两点，它与球面有唯一的交点，记为.(1)证明：点的坐标是，，，并且它给出了球面上去掉北极的剩余部分的正则参数表示；(2)求球面上去掉南极的剩余部分的类似的正则参数表示；(3)求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4)证明球面是可定向曲面.证明.(1)设.如图，三点共线，故有使得.(1)由于，，，，取上式两边的模长平方，得.从而，.(2)由(1)可知，又，所以，，.(3)因此给出了的正则参数表示.(2)令是两点连线与赤道平面的交点.同理，有，，，.(4)，，.(5)因此(4)给出了的正则参数

2、表示.(3)由(2)和(4)式可得，从而上面两种正则参数表示在公共部分上的参数变换公式为，.(6)由(3)和(5)可知.所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注.如果采用复坐标，令，则上面的参数变换可写成.这就是广义复平面上的共形变换.(4)在上采用(1)式给出的正则参数表示，在上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为，.(4)由于构成的开覆盖，并且，所以是可定向的.□5写出单叶双曲面和双曲抛物面作为直纹面的参数方程.解.(1)对单叶双曲面，取腰椭圆，为准线.设直母线的方向向量为.则直纹面的参数方程为.由于的分量满足单叶双曲面的方程，可得，.由得任意性得到，.因此.取得，.(

3、2)对双曲抛物面，令，，则.曲面的参数方程为，.p.94习题3.21.证明：一个正则参数曲面是球面它的所有法线都经过一个固定点.证明.“”设是球面，参数方程为，球心为，半径为.则有，.(1)微分可得，.(2)所以，从而，即有函数使得.(3)这说明球心在它的所有法线上.“”设的所有法线都经过一个固定点.则有函数使得(3)式成立，即有.分别用作内积，可得(2).这说明，从而(1)式成立，其中(否则只是一个点，不是正则曲面)是常数.因此是以为球心，以为半径的球面，或球面的一部分.□3.证明：一个正则参数曲面是旋转面它的所有法线都与一条固定直线相交.证明.“”设是旋转面，旋转轴为轴.它的参数方程为，.

4、因为，，，所以上任意一点处的法线的参数方程为.由于轴的参数方程为，并且，所以与共面.如果与处处平行，则，从而.此时是垂直于轴的平面.所以当不是垂直于轴的平面时，旋转面的所有法线都与轴相交.“”通过选取坐标系，不妨设固定直线为轴.设的参数方程为，.由条件，的所有法线都与轴相交，所以法线不能与轴平行，即，.因此，不能全为零.不妨设在点邻近.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成，.(1)于是，，.因为所有法线都与轴相交，，即有.这说明是一个仅仅依赖于的函数.设，其中.作参数变换.由上式得，的参数方程(1)可以改写为.这是一个旋转面，由平面上的母线绕轴旋转而得.□5.设是圆锥面，是上的一条曲线.(1)

5、将曲线的切向量用的线性组合表示出来；(2)证明：的切向量平分了和的夹角.(1)解.的参数方程为.的切向量为(2)证明.因为，在曲线上每一点处，，.由上可知.所以，；，.□p.104习题3.32.设球面的参数方程是.求它的第一基本形式.解.记.则，，，，.所以，，，从而.5.设在曲面上一点，由微分的二次方程(1)确定了在该点的两个切方向.证明：这两个切方向彼此正交函数满足，其中是曲面的第一基本形式.证明.由条件，二次方程(1)有两个互异的实根和，因此可以分解为两个一次因子的乘积：.(2)其中是关于变量的函数.因为上式是关于文字的二次多项式，比较两边的系数，得，，.(3)由(2)可知(1)所确定两

6、个切方向为，.(4)这两个切方向彼此正交(课本(3.18))(由(4)式).(由(3)式)□8.已知曲面的第一基本形式为.(1)求曲线与的交角；(2)求曲线，和所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3)求曲线，和所围成的曲边三角形的面积.解.(1)已知.因为交点为.在交点处.对于，；对于，.所以它们的切方向满足.于是它们的交角为，或.(2)不妨设常数.如图，在曲纹坐标下，与的交点为，与的交点为，与的交点为.因为是计算内角，在点.同理，，所以内角.在点，，所以.在点，，.所以，.曲线，，的弧长分别为，.注.在90版中，本题为，，，故，.(3)因为，所以曲边三角形的面积p.110习题3.41.

7、设空间曲线以弧长为参数，曲率是.写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解.设曲线的Frenet标架是.则它的切线曲面参数方程可写为.由，可得它的第一基本形式.(1)直母线(即-曲线)的正交轨线的微分方程为，即.为此，作参数变换，.则逆变换为，，切线曲面的参数方程为.在新参数下，，.第一基本形式化为.所以参数曲线构成正交曲线网.也可将，直接代入(1)式得到上式：.3.求曲线的