微分几何 陈维桓 习题答案4

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1、习题答案4p.202习题5.11.设可允许的参数变换是保持定向的，即，其中.用表示曲面在参数系下的第一、第二类基本量，用，表示曲面在参数系下的第一、第二类基本量.证明：，.证明.(1)因为，所以在可允许参数变换下，.上式两边作为的二次型相等，所以.(2)设的方程为.令.则有.于是.因为，这说明在两个参数系下，有.于是和(1)中一样，可得.□4.验证：曲面的平均曲率可以表示成，并且证明在第1题的参数变换下是不变的.证明.(1)证法一：直接验证.由定义，.因此.7证法二：运用Weingarten变换.由定义，.所以是Weingarten变换在切空间的基下的矩阵.它的两个特征值，也就是主曲率，满足

2、.所以.(2)在第1题的参数变换下，令为逆变换，.则与互为逆矩阵.故有，.(1)在第1题中已经证明了.(2)所以有.用乘上式两端，并对指标求和，利用(1)式可得.再用乘上式两端，并对指标求和，可得.最后用乘上式两端，并对指标求和，利用(1)式可得，即有.(3)于是由得到.所以在第1题的参数变换下是不变的.□注.如果采用矩阵记号，令，，.则(2)就是，(3)就是.5.证明下列恒等式：(1)；(2)；7(3)，其中.证明.(1)因为，对求偏导数，得.因此.用乘上式两边，再对求和，得.这就是(1).(2)由，，可得左边右边.(3)左边为右边为所以(3)成立.□p.212习题5.34.设有2个不相等

3、的常数主曲率.证明：是圆柱面的一部分.证明.设的2个常数主曲率为.因为，所以上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得7，，.(1)因为是常数，由Codazzi方程(3.23)得，.因此.(2)于是，.作参数变换，.则第一、第二基本形式成为，.即在新的参数下，，.为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有，.(3)由(3.22)得，从而由Gauss方程(3.19)可知.不妨设.则.于是(3)成为，.(4)直接计算可得圆柱面的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题.根据曲面论唯一性定理，曲面是圆柱面的一部分.□5.已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是，.证明：(1)函

4、数满足；(2)和只是的函数.证明.由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是，，.由Codazzi方程(3.23)得，.因此，.7由Gauss方程可得.因此，并且仅依赖于.□p.217习题5.42.判断下面给出的二次微分形式能否作为空间中某个曲面的第一、第二基本形式，并说明理由.(1)，.(2)，.解.(1)不能.否则曲面有2个不相等的常数主曲率，.由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分.但是圆柱面是可展曲面，Gauss曲率，矛盾.(2)不能.如果这样的曲面存在，则，.由Codazzi方程(3.23)的第2式得，矛盾.□4.已知，，其中，.若能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数应该满足什么条件

5、？假定.写出满足上述条件的函数的具体表达式.解.如果这样的曲面存在，则上的点都是脐点.由第四章定理1.1和定理1.2，必须是常数.情况1..则，Codazzi方程(3.23)的2个式子自动成立.因此只要函数满足Gauss方程.因为Gauss曲率，应满足.(1)也就是.情况2..则，.因此Codazzi方程(3.23)的2个式子成立.剩下的只要函数满足Gauss方程.因为Gauss曲率，应满足.(2)当时，(1)成为,所以.令7.根据复变函数知识，存在复解析函数使得.因此，，其中也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数.(2)式成为，(3)其中是常数.它的一个解是.如果令，则上面的函数可以写成

6、.对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数，，只要，函数都是(3)的解.□p.227习题5.51.已知曲面的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率.(2)，，是常数；(4)，是常数；(6).解.(2)这是等温参数网.由公式(5.5)，.(4)这是正交参数网.由公式(5.4)，.(6)由公式(5.4)，.□2.证明下列曲面之间不存在等距对应.(1)球面；(2)柱面；(3)双曲抛物面.证明.(1)球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率.因此，7其中为球面半径.故球面的Gauss曲率.(2)柱面是可展曲面，因此Gauss曲率.(3)对于双曲抛物面，参数方程为.故有，，，，，.

7、于是，，；，，.由此得.根据Gauss定理，这3个曲面之间不存在等距对应.□7