微分几何_陈维桓_习题答案.pdf

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1、习题答案1p.41习题2.31.求下列曲线的曲率：32333(2)rt()=(3t−t,3,3tt+t)；(4)rt()=(cos,sin,cos2ttt).222解.(2)rt()=31(−t,2,1t+t)，

2、()

3、321rt=+(t),22rt()=−6(t,1,t),rt()rt()18=(t−−1,2,tt+1),21

4、()rtrt()

5、182=(t+1),=.223(1+t)15(4)rt()=sin2t(−3cos,3sin,4tt−)，

6、()

7、rt=

8、sin2

9、t,221rt()

10、=cos2t(−3cos,3sin,4tt−)+sin23sin,3cos,0t(tt),212rt()rt()=sin2t(−3cos,3sin,4tt−)(3sin,3cos,0tt)432=sin24cos,4sin,3t(t−t−)，4522

11、()rt=rt()

12、sin2t，=，(2tk+(21)).425

13、sin2

14、t222x+y+z=9,4.求曲线在(2,2,1)处的曲率和密切平面方程.22xz−=3解.设曲线的弧长参数方程为rs()=(xsyszs(),(),()),r(0)=(2

15、,2,1)，r(0)=，r(0)=.则xsyszs(),(),()满足题给的方程组，所以有00022222x+y=12,y+2z=6.对上式求导得2222xx+yy=0,yy+2zz=0,x+y+z=1.(1)再求导，得22222xx+yy=−(2x+y),yy+2zz=−(y+2),zxx+yy+zz=0.(2)1122在(2,2,1)处，由(1)解出2x=−=yz，x=.不妨设x=,,y=−z=.所以333310==(xyz,,)(1,2,2−).3代入(2)得224x+2y=−,y+=−z,x−2y+2z=0.3

16、3所以121=r(0)=(0,1,1)−−，=，=(0,1,1)−−.0000332于是111==(1,2,2−)(0,1,1)−−=(4,1,1)−.0003232所以在(2,2,1)处，曲率为=2/3，密切平面方程为04(x−2)(+y−2)(−z−1)=0，即4x+y−−=z90.7.证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线.证明.设曲线C的弧长参数方程为r=rs()，它的Frenet标架为r;,,，曲率和挠率分别为,.再设定点为a(常向量).由条件，a和rs(

17、)都在C的过rs()点的切线上，所以(()rs−a)//()s.故可设rs()=+a()()ss.对上式求导，利用Frenet公式可得()s=+()()ss()()()sss.所以()s=0，C是直线.□p.47习题2.41.计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.32333(2)rt()=(3t−t,3,3tt+t)；(4)rt()=(cos,sin,cos2ttt).222解.(2)rt()=31(−t,2,1t+t)，

18、()

19、321rt=+(t),22rt()=−6(t,1,t),rt()rt

20、()18=(t−−1,2,tt+1)，2

21、()rtrt()

22、182=(t+1)，rt()=−6(1,0,1)，(rtrtrt(),(),())=216，(rtrtrt(),(),())11==.=2222

23、()rtrt()

24、31(t2+)3(1+t)15(4)rt()=sin2t(−3cos,3sin,4tt−)，

25、()

26、rt=

27、sin2

28、t,221rt()=cos2t(−3cos,3sin,4tt−)+sin23sin,3cos,0t(tt),212rt()rt

29、()=sin2t(−3cos,3sin,4tt−)(3sin,3cos,0tt)432=sin24cos,4sin,3t(t−t−)，4rt()=−2sin2t(−3cos,3sin,4tt−)+2cos23sin,3cos,0t(tt)1+−sin23cos,3sin,0t(tt)，252333

30、()rt=rt()

31、sin2t，(rtrtrt(),(),())=sin2t，44(rtrtrt(),(),())1232==,(2tk+(21)).=2

32、()rtrt()

33、2

34、5sin2t25

35、sin2

36、t4.假定r=rs()是正则弧长参数曲线，它的挠率0，曲率不是常数，并且22211d12+=a，(1)ds其中a为常数.证明该曲线落在一个球面上.证明.由条件(1)，求导得1d11d