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《微分几何陈维桓习题答案4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题答案4p.202习题5.11.设可允许的参数变换宀沪(灯)是保持定向的，即det(^)>0,其中坊=貽.用g卅b邮表示曲面S在参数系(*,/)下的第-、第:类基本量，用亦表示曲面S在参数系3”)下的第一、第二类基本量.证明：Sap=&就心，%邮=b於加；・证明・(1)因为dua=a；dv^,所以在可允许参数变换下，gapdvadvp=I=gySdurdu6=grS(a^dva)(a^dvfi)=(g肿©)d声加".上式两边作为dJ,d/的二次型相等，所以品十吠・(2)设S的方程为r=r(u>2).令7(丿,/)=则有ra=a^rp.于是斤x牙=(d；X)x(Qf%)=(dk；-a
2、]a)r}xr2=det(a；)斤xr2.因为det(^)>0,这说明在两个参数系下，有n(v1,v2)=n(wl(vl,v2),w2(v1,v2)).于是ba(idvadvp--dr•dh--{dr•dn)=bv(sduydud=如(比加。)(碍d/)={brSa7aasp)dvadvp.和⑴中一样，可得bap=b応ci；・口4.验证：曲面S的平均曲率H可以表示成H占屛,并且证明H在第1题的参数变换下是不变的.证明.(1)证法一：直接验证.由定义，g=del(g妙)=g]]g22_g$,g"=—.
3、_2b品+妇弘)2(®]g22—劭)2g=+2勺2g"+优2gJ+勺2g"+优
4、g"+仇2g2')=如°g叭证法二：运用Weingarten变换W.由定义，所以(/)是Weingarten变换W在切空间的基｛忌即下的矩阵.它的两个特征值0*2，也就是主曲率，满足匕+w=trace(Z?f)=b：+b；=b：=bapgpa=b叩严•所以-宁占屛.Ga(2)在第1题的参数变换下，令声““(』,/)为逆变换，碍=話・则(坊)与(确)互为逆矩阵•故有在第1题中已经证明了爲］=咏a：%•⑵所以有用冬乘上式两端，并对指标&求和，利用(1)式可得冬=邨:=g屁如常=gy2皿旷=g屛旷•再用g切乘上
5、式两端，并对指标？求和，可得艸=炸a常=蜀常=瞰・最后用磅乘上式两端，并对指标〃求和，利用(1)式可得可0號=隘叫计=滋旷=秽,即有砰=隘酸・⑶于是由厶妙=b応a；得到鬲科"胛©需磅g切二如@歸)(喘Qg切=%§何0=・所以H在第1题的参数变换下是不变的.口注.如果采用矩阵记号，令G=(g』，G=(^),T=(疋).则(2)就是G-TGT7',(3)就是G"=(丁7丁匕一中一〔5.证明下列恒等式：(1)严It+g®I=-—;⑶陷冷导，其中防弘軽-(gj・证明・(i)因为g%产％,对/求偏导数，得因此匚一严9用g"乘上式两边，再对°求和，得ar卩話"严壽-严严匚厂-外壽-代鷹=这就是(
6、1).=右边.p—p°g旳_厂Ip'a旳一'创卩'瓦7~1pya^1可得左边为左边=「70a+「0"一「“0一「Q0=「1二丄2pyQgayg訂+gpy°goyPy&g阳aZ^11^22（512）]c西22c现
7、21Sing_1Qg_1°—]
8、c11丄C—厶c—厶c_坯02丽+弘乔-閔丽詔21=2<2dua所以⑶成立.duaudua%dir'疋1如+&22座于2麵21"釘'6ua8dua"□右边为p.212习题5.34.设S有2个不相等的常数主曲率.证明：S是圆柱面的一部分.证明.设S的2个常数主曲率为®,勺・因为23所以S上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得因为匕
9、入是常数，由Codazzi方程(3.23)得咔”=L..=HE、,,g=N“=HGU=•因此Ev=0,G“=0.⑵于是E=E(u),G=G(v).作参数变换u=^E(u)du,v=^G(v)dv・则第一、第二基本形式成为I=E(u)d『+G(v)dv2=du2+civ2,II=K、E(u)d『+K2G(v)dv2=K}du2+K2dv2.即在新的参数下E=G=1,L=w，N=k2・为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有I=du2+dv2,II=KxdiC+K2dv2・(3)由(3.22)得Rm=0,从而由Gauss方程(3.19)可知LN=k,k2=0.不妨设心=0.则K}H0=$・
10、丁"是(3)成为I=du2+dv2,II=K.du2.(4)直接计算可得圆柱面一吉cos(“),吉sin(“)°的第一、第二基木形式也是(4),见第四章第2节的例题.根据曲面论唯一性定理,曲面S是鬪柱面的一部分.口5.已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是I=u2(du2+dv2),Il=A(w,v)du2+B(u,v)dv2.证明:(1)函数A(w,v),B(w,v)满足AB三1；(2)A和B只是"的函数.证明.rti已知条件可得主曲率和平均曲率分别
