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1、微分几何主要习题解答第一章曲线论§2向量函数5.向量函数具有固定方向的充要条件是×=。分析：一个向量函数一般可以写成=的形式，其中为单位向量函数，为数量函数，那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向，即为常向量，（因为的长度固定）。证对于向量函数，设为其单位向量，则=，若具有固定方向，则为常向量，那么=，所以×=（×）=。反之，若×=，对=求微商得=+，于是×=（×）=，则有=0或×=。当=0时，=可与任意方向平行；当0时，有×=，而（×= -(·＝，（因为具有固定长，·=0），所以=，即为常向
2、量。所以，具有固定方向。6．向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0。分析：向量函数平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量，使·=0，所以我们要寻求这个向量及与，的关系。证若平行于一固定平面π，设是平面π的一个单位法向量，则为常向量，且·=0。两次求微商得·=0，·=0，即向量，，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0。反之,若（）=0，则有×=或×。若×=，由上题知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若×，则存在数量函数、，使=+①47微分几何主要习题解答令=×，则，且⊥。对=×求微商
3、并将①式代入得=×=（×）=，于是×=，由上题知有固定方向，而⊥，即平行于固定平面。§3曲线的概念3.证明圆柱螺线={a,a,}()的切线和z轴作固定角。证明={-a,a,},设切线与z轴夹角为,则=为常数，故为定角（其中为z轴的单位向量）。10.将圆柱螺线={a，a，b}化为自然参数表示。解={-a,a,b}，s=，所以，代入原方程得={a,a,}§4空间曲线1．求圆柱螺线=a，=a，=b在任意点的密切平面的方程。解={-a,a,b},={-a,-a,0}所以曲线在任意点的密切平面的方程为=0
4、，即(b)x-(b)y+az-abt=0.2.求曲线={t,t,t}在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。47微分几何主要习题解答解原点对应t=0,(0)={+t,-t,+t={0,1,1}，{2+t,-t,2+t={2,0,2}，所以切线方程是，法面方程是y+z=0；密切平面方程是=0，即x+y-z=0，主法线的方程是即；从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式。3．证明圆柱螺线=a，=a，=b的主法线和z轴垂直相交。证={-a,a,b},={-a,-a,0}，由⊥知为主法
5、线的方向向量，而所以主法线与z轴垂直；主法线方程是与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x=coscost,y=cossint,z=tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解={-cossint,coscost,sin},={-coscost,-cossint,0}{sinsint,-sincost,cos}新曲线的方程为={coscost+sinsint，cossint-sincost，tsin+cos}对于新曲线={-cossin
6、t+sincost，coscost+sinsint，sin}={sin(-t),cos(-t),sin},={-cos(-t),sin(-t),0},其密切平面的方程是47微分几何主要习题解答即sinsin(t-)x–sincos(t-)y+z–tsin–cos=0.5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径具有固定长，所以·=0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始
7、点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则·=0，具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：是球面曲线存在定点（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使，即（﹡）而过曲线上任一点的法平面方程为。可知法平面过球面中心（﹡）成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。7．求以下曲面的曲率和挠率⑴,⑵。解⑴，，，，所以47微分几何主要习题解答。⑵，，×=，。8．已知曲线，⑴求基本向量；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。分析这里给出的曲线的方程为一般
8、参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解⑴，（设sintcost>0），则，，，，⑵，，由于与方向相反，所以⑶显然以上所得满足，而也满足伏雷内公式。9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以47微分几何主要习题解答，可见∥，所以具有固定方向，故＝是直线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的切线方程是，
