微分几何试卷及答案.doc

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1、得分评阅人一、填空题：（共5题，每题2分，共10分）1．曲线的伏雷内公式为2．设曲面的参数表示为，则用第一基本量表示为3．曲面的高斯方程为4．曲面的科达齐方程为5．第二类克氏符号得分评阅人二、计算题：（共3题，70分）院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------

2、------------------1．圆柱螺线的参数表示为。计算它在点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：，所以切线：，即法平面：，即密切平面：，即。，第1页(共2页)2．计算抛物面的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分）解：，，所以有，，在脐点有，由此得，即唯一的脐点是原点。-------------------------------------------------密----------------------------------封---------------------------

3、--线---------------------------------------------------------得分评阅人三、证明题：（共1题，10分）若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。证明：取渐进网为曲纹坐标网，则曲线与曲线的夹角为常数，且曲线方向的法曲率为零。根据欧拉公式有得分评阅人四、应用题：（共1题，10分）用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。解：由于在测地线上由高斯-波涅公式有。矛盾第2页(共2页)