微分几何练习试题库和答案

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1、《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1．已知.则这两个向量的夹角的余弦=2．已知.求这两个向量的向量积(-1,-1,-1)．3．过点且与向量垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面与的交线的对称式方程为5．计算．6．设..求0．7．已知.其中..则8．已知..则9．已知..求.其中.10．已知（为常向量）.求11．已知.（为常向量）.求12．已知...则．第二章13．曲线在任意点的切向量为14．曲线在点的切向量为15．曲线在点的切向量为16．设有曲线.当时的切线方程为

2、..17．设有曲线.当时的切线方程为第三章18．设为曲面的参数表示.如果.则称参数曲面是正则的；如果是一一的.则称参数曲面是简单的．19．如果曲线族和曲线族处处不相切.则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟)20．平面的第一基本形式为.面积元为21．悬链面的第一类基本量是,,22．曲面上坐标曲线.的交角的余弦值是23．正螺面的第一基本形式是．24．双曲抛物面的第一基本形式是25．正螺面的平均曲率为0．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）26．方向是渐近方向的充要条件是或27．两个方向和共轭的充要条件是或28．函

3、数是主曲率的充要条件是29．方向是主方向的充要条件是30．根据罗德里格定理.如果方向是主方向.则.其中是沿方向的法曲率31．旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32．高斯方程是..魏因加尔吞方程为.33．用表示为．34．测地曲率的几何意义是曲面上的曲线在点的测地曲率的绝对值等于在点的切平面上的正投影曲线的曲率35．之间的关系是．..36．如果曲面上存在直线.则此直线的测地曲率为0．37．测地线的方程为38．高斯-波涅公式为39．如果是由测地线组成.则高斯-波涅公式为．二、单选题第一章40．已知..则这两个向量的内积为（C）．（内积；易；

4、2分钟）A2BC0D141．求过点且与向量平行的直线的方程是（A）．（直线方程；易；2分钟）ABCD42．已知.则混合积为（D）．（混合积；较易；2分钟）A2BC1D43.已知.则为（A）．（导数；易；2分钟）Ａ　(１.０.１)　　　　　　　　　　Ｂ　(-１.０.１)Ｃ　(０.１.１)　　　　　　　　　　Ｄ　(１.０.-１)44．已知.为常数.则为（C）．（导数；易；2分钟）Ａ　　　Ｂ　Ｃ　　　Ｄ　上述为常向量．45.已知.求为（D）．（微分；较易；2分钟）　Ａ　　　　　　　Ｂ　第二章46．圆柱螺线的切线与轴（C）.(螺线、切向量、

5、夹角；较易、2分钟)Ａ　平行　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ　垂直Ｃ　有固定夹角　　　　　　　　　　　Ｄ　有固定夹角47．设有平面曲线.为自然参数.是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C）．..Ａ　为单位向量　　　　　　　　　　　　Ｂ　Ｃ　　　　　　　　　　　　　　　Ｄ　48．直线的曲率为（B）．（曲率；易；2分钟）Ａ　–１　　　　Ｂ　０Ｃ　１　　　　　Ｄ　２49．关于平面曲线的曲率不正确的是（D）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ　Ｂ　.为的旋转角Ｃ　Ｄ　50．对于平面曲线.“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（D）．（曲率；易；2分

6、钟)Ａ　充分不必要条件　　　　　　　　　　　Ｂ　必要不充分条件Ｃ　既不充分也不必要条件　　　　　　　　Ｄ　充要条件51．下列论述不正确的是（D）．（基本向量；易；2分钟）Ａ　均为单位向量Ｂ　Ｃ　Ｄ　52．对于空间曲线Ｃ.“曲率为零”是“曲线是直线”的（D）．（曲率；易；2分钟)A充分不必要条件　　　　　　　　　　　B　必要不充分条件C既不充分也不必要条件　　　　　　　D　充要条件53．对于空间曲线.“挠率为零”是“曲线是直线”的（D）．（挠率；易；2分钟)A充分不必要条件　　　　　　　　　　　B　必要不充分条件C既不充分也不必要条件

7、　　　　　　　　D　充要条件54．在点的切线与轴关系为（D）．Ａ　垂直　　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ　平行Ｃ　成的角　　　　　　　　　　　　　　Ｄ　成的角第三章55．椭球面的参数表示为（C）．（参数表示；易；2分钟）ABCD56．以下为单叶双曲面的参数表示的是（D）．（参数表示；易；2分钟）ABCD57．以下为双叶双曲面的参数表示的是（A）．（参数表示；易；2分钟）..ABCD58．以下为椭圆抛物面的参数表示的是（B）．（参数表示；易；2分钟）ABCD59．以下为双曲抛物面的参数表示的是（C）．（参数表示；易；2分钟）ABCD6

8、0．曲面在点的切平面方程为（B）．（切平面方程；易；2分钟）ABCD61．球面的第一基本形式为（D）．（第一基本形式；中；2分钟）ABCD62．正圆柱面的第一基本形式为（C）．（第一基本形式；中；2分钟）ABCD63．在第一基本形式为