《微分几何》练习题库答案

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1、《微分几何》练习题库参考答案一单项选择题笫一章1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D第二章7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】D14.【答案】D15.【答案】D第三章16.【答案】C17.【答案】D18.【答案】A19.【答案】B20.【答案】C21.【答案】B22.【答案】D23.【答案】C24.【答案】B25.【答案】B26.【答案】D27.【答案】C28.【答案】A29.【答案】C第四章30.【答案】B31.【答案】B32.【答案】A33.【答案

2、】A34.【答案】B1.【答案】A2.【答案】B3.C3&A39.D二、填空题第一章40.【答案】V6341.【答案】(-1,-1,-1)42.【答案】x-z=043.【答案】44.【答案】13i-8j+k45.【答案】046.【答案】(It+cost92t-cost,2vt4-ucost)47.【答案】(-asincpcos3一2atcos(psin0,-asin0sin&+2atcoscpcos0,acoscp)48.【答案】(3-9,5)49.【答案】ra+c50.【答案】-r2a+c251.已知f(r)=(2+r)j+(logr)k,g(r)=(sinr)

3、i-(cosr)j,f>0,则4d打(f・g)d2•【答案】2-6cos4第二章52.【答案】(2,3尸,占)53.【答案】(0,d,a)54.【答案】（0,以）112rnxrv^0:的正规处标网dw2+dv2；dudvE=cosh2u,F=0,G=cosh2u2GWo7(l+6z2V)(l+6Z2y02)du2+(u2+/?2)dv2(a2+b2+4v2)dtr+2(a2-b2+4wv)dwdv+(tz2+/?2+4w2)dv20Kn(d)=0或Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0II(dr,8r)=0或LdwSw+M(dw8v+dv8w)+A^dvSv=0几E

4、_LAF-M=0AF-M九G_NEdu+FdvLdu+Mdv=0Fdu+GdvMdu+Ndvdn=-匕dr,其中Kn是沿(d)方向的法曲率平而；悬链而"产工巧儿+L小i,j=,2；n严-工厶肿片，i,j=,2"S2273.【答案】ItfilfllS上的曲线(C)在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面口上的正投影曲线(CJ的曲率74.【答案】k2=k^+k；75.【答案】076.【答案】導+》巧学竽=0*=1,277.【答案】JjKdcr+J©d$+£(兀一匕)=2兀GSG匸1k78.【答案】JjKdb+工(兀一匕)=2兀GI79.T80.以该向量为切

5、方向的曲线为平面曲线81.密切平面82.-283.一般螺线三、叙述题第三章84.【解】设G是初等区域，SuIV,如果存在一个连续一一映射r:G^R3使得r(G)=S,则称S是一张曲面,rfo'r=r(x)叫S的参数表示.85.【解】曲面S:r=r(w,v),(u,v)GG,r(u,v0)的像叫曲线，r(w0,v)的像叫曲线，"-曲线和卩一曲线都叫处标曲线.86.【解】称二次型I(dw,dv)=Edw2+2Fdudv+Gdv2(其中E=r-r^,F”,G=rv-rv)为曲而的第一基本形式・ihjE、F、G叫曲而的笫一类基本量.87.【解】由曲面的笫一类基本量所决定的

6、量叫曲面的内蕴量.88.【解】称二次型II(dn,dv)=Ldu2+2Mdudv+Ndv2(其中L=rawn,M=rz/v-n,N=rvv•n)为曲而的第二基本形式•而厶，M,N为曲而的第二类基本量.89.【解】若在戶点有LN-M2>0,贝9称卩点为曲而的椭圆点.90.【解】给定曲面S上一点P处的一个切向fi(d)=dw:dv,则P点沿方向(d)的法曲率定义为Kn(d)=II(dr,dr)/I(dr,dr).91.【解】使法率匕(d)达到极值的方向叫III］面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率.92.【解】曲面的两个主曲率Z积K=k「K2叫曲而的高斯曲

7、率.93.【解】平均曲率H=0的曲而叫极小曲而.四、计算题第二章94.【解】旋轮线r(z)=(a(t-sinr),a(l-cos0)的切向rz)=(a-acost,asint),则它的0052兀一-段的弧长为:2江27Ts=

8、V2«Vr^cos7dz=Sa.0095.【解】由题意知rz(0=(sint+1cost,cosr-rsint,e!+),r"(/)=(2cos/-/sint,-2sint-tcost,2d+0),在原点时有r'(0)=(0丄l)F(O)=(2,0,2)o—r'

9、・

10、rW—r'xr"所以有a=(o^,^),P=4,4，Ay=4,4,-4)«

11、225oo