微分几何练习题库及参考答案已修改

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1、《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限．2．设，，求0．3．已知，，，则.4．已知（为常向量），则．5．已知，（为常向量），则．6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线在t=2处有，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点处则为曲面的_正常______点.12．已知，，，则．13．曲线在任意点的切向量为．14．曲线

2、在点的切向量为．15．曲线在点的切向量为．16．设曲线，当时的切线方程为．17．设曲线，当时的切线方程为.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式中，是方向(d)与u－曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是.22．已知，其中，则．1723．已知，其中，，则．24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．

3、如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面的第一基本形式为，面积微元为．27．悬链面第一基本量是．28．曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是.29．正螺面的第一基本形式是．30．双曲抛物面的第一基本形式是．31．正螺面的平均曲率为0．32．方向是渐近方向的充要条件是．33.方向和共轭的充要条件是．34.是主曲率的充要条件是．35.是主方向的充要条件是．36.根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面P上

4、的正投影曲线(C*)的曲率．39．之间的关系是．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为17．42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1．已知，则为（A）．A.；B.；C.；D..2．已知，为常数，则为（C）．A.；B.；C.；D..其中为常向量．3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；D．副法线与固定方向垂直．4.曲面在每一点处的主方向（A）A．至少有两个；B．只有一个；C

5、．只有两个；D．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.6.已知，求为（D）．A.；B.；C.；D..7．圆柱螺线的切线与轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.8．设平面曲线，s为自然参数，是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．A.为单位向量；B.；C.；D..9．直线的曲率为（B）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率不正确的是（D）．A.；B.，为的旋转角；C.；D..11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．17A.充分不必要条件

6、；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12．下列论述不正确的是（D）．A.均为单位向量；B.；C.；D..13．对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）．A.充分不必要条件；　　　　　　　　　　　B.　必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；　　　　　　　　D.　充要条件.14．在点的切线与轴关系为（D）．A.垂直；　　B.　平行；C.成的角；　　　D.成的角.15．椭球面的参数表示为（C）．A.；B.；C.；D..16．曲面在点的切平面方程为（B）．A.；B.；C.；D..17．球面的第一基本形式为（D）．A.；B.

7、；C.；D..18．正圆柱面的第一基本形式为（C）．A.；B.；C；D..19．在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（B）．A．；B．；C．；D．．20．设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．A．；B．；C．；D．．21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．；B．；C．；D．3．1723．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．A．；　B．；C．；　D．．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）

8、．A．直线；　B．平面曲线；　C．抛物线；　D．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，