微分几何练习题库及参考答案(已修改).docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限lim[(3t21)it3jt22．设f(t)(sint)itj，4r(t)dt=1,2,33．已知246k]13i8jk．g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t))0．t06r(t)dt=2,1,2，a2,1,1，b1,1,0，则，4ar(t)dt+bar(t)dt=3,9,5.224．已知r(t)a（a为常向量），则r(t)tac．5．已知r(t)ta

2、，（a为常向量），则r(t)1t2ac．26.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线rr(t)在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点(u0,v0)处rurv0，则(u0,v0)为曲面的_正常______点.412．已知f(t)(2t)j(lnt)k，g(t)(si

3、nt)i(cost)j，t0，则0d(fg)dt26cos4．dt13．曲线r(t)2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et．14．曲线r(t)acosht,asinht,at在t0点的切向量为0,a,a．15．曲线r(t)acost,asint,bt在t0点的切向量为0,a,b．xey1z1tt2e16．设曲线C:xe,z，当t1时的切线方程为．e,yte12e17．设曲线xetcost,yetsint,zet，当t0时的切线方程为x1yz1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F

4、=M=0_.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式knk1cos2k2sin2中，是方向(d)与u－曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0.22．已知r(u,v)uv,uv,uv，其中ut2,vsint，则dr2tcost,2tcos,2tvtucost．．已知r(,)acoscos,acossin,dtasin，其中t，2，则23t1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料

5、推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯dr(,)asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acos．dt24．设rr(u,v)为曲面的参数表示，如果rurv0，则称参数曲面是正则的；如果r:Gr(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面r(u,v)u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv．27．悬链面r(u,v)coshucosv,coshusinv,u第一基本量是Ecosh2u，F0,

6、Gcosh2u．．曲面zaxy上坐标曲线xx0，yy0的交角的余弦值是a2x0y0.28(1a2x02)(1a2y02)29．正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一基本形式是du2(u2b2)dv2．30．双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),2uv的第一基本形式是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2．31．正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的平均曲率为0．32．方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)0或Ldu22Mdudv

7、Ndv20．33.方向(d)du:dv和(δ)δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)0或LduδuM(duδvdvδu)Ndvδv0．34.是主曲率的充要条件是ELFM0．FMGNEduFdvLduMdv或dv2dudvdu235.(d)du:dv是主方向的充要条件是0EFG0．FduGdvMduNdvLMN36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(du:dv)是主方向，则dnkndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点

8、的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．k,kg,kn之间的关系是k2kg2kn2．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯d=EvcosGusinds2EG2GEdu=cos．dsEdv=sindsG42．曲线是