《微分几何》练习题库参考答案.doc

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1、《实变函数》练习题库参考答案一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.A6.C7.C8.C9.B10.A11.B12.D13.A14.A15.B16.B17.18.B19.C20.D21.A22.B23.C24.A二、填空题1.2.3.闭4.开5.6.7.可测集8.可测9.10.可积11.12.13.闭14.开15.16.17.可测18.可测19.20.21.22.23.开24.闭25.26.27.可测集28.可测１５29.30.31.32.33.开34.闭35.36.37.可测38.可测39.40.黎斯41.=42.闭

2、43.44.45.46.可测集47.48.黎斯49.不一定50.是51.=52.开53.构成54.=55.=56.可测集57.=58.不一定成立59.一定存在60.递增函数的差（或递减函数的差）61.c62.，１５63.，64.至多可列65.66.闭67.是上的几乎处处的连续函数68.可积也是三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.×8.×9.√10.√11.√12.√13.×14.√15.√16.×17.×18.√19.√20.×21.×22.×23.×24.√25.√26.×27.（×）28.（√）29.（

3、√）30.（×）31.（×）32.（√）33.（×）34.（×）35.（×）36.（×）四、计算题1.解：因为，所以于，于是，而在上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，因此.2.法一：显然在上可测，另外由定义知，于所以因此.１５法二：易知对每个在上可测，且而在上可积又，其中所以由有界控制收敛定理，3.因为，所以于于是而在上连续，所以因此.4.因为在上连续，所以可测又而，所以.因此由有界控制收敛定理5.因为，所以于１５于是而在上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式因此6.因为在上连续，所以可测又而，所以.因

4、此由有界控制收敛定理7.因为，所以于于是而在上连续，所以因此.8.令１５显然在上可测，且因为不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数，且，所以由勒贝格控制收敛定理故.9.证明记是中有理数集，是中无理数集，则，，且，所以.10.证明易知对任意，１５设，，则，当时，，.则是单调减函数且非负（）；又，由单调收敛定理得，即，再由控制收敛定理得11.因为为康托集，故，所以所以12.易知：令，则所以１５又因为在上可积，所以由控制收敛定理，得13.解：设，则（1）因在上连续，所以是可测的；（2）；（3）因为显然在上可积。于是由Lebe

5、sgue控制收敛定理，有14.解：因为有理数集的测度为零，所以于，于。于是五、证明题１５1．证明2．证明设是中的有理数集，则是可数集，从而，因此是可测集，从而可测，又，故是可测集.由于，所以，故3．证明设为全体有理数所成之集，则因为是上的可测函数，所以，是可测集，，于是由可测集性质知是可测集4．证明因为在上可测，所以在上非负可测，由非负可测函数积分性质，而，所以5．证明因为，所以，当时，，又在上可积，所以由积分的绝对连续性，当时于是当时，，因此，即6.证明１５7.证明因为，所以，于是另一方面，，所以于是8.证明对任何实数

6、，因为所以在上可测的充要条件是对每个，在每个上可测9.证明因为在上可测，所以是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，而，所以10.证明因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，对任何，当时有，由于，故对上述的，存在，当时，且有，于是，即11.证明12.证明设，，由外测度的单调性和非负性，，所以１５，于是由卡氏条件易知是可测集13.证明对任何正数，由于所以于是故14.证明因是上可积，所以在上可积，从而可积，又故在上可积15.证明反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，若不然，则由于，所以存在，使于是因此，矛盾，

7、故于16.证明１５17.证明因为是有界集，所以存在开区间，使由外测度的单调性，，而（其中表示区间的体积），所以18.证明因为连续，所以对任何实数，是开集，而开集为可测集，因此是可测函数19.证明因为在上有界可测，所以存在，使，，是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，故在上可积，从而在上可积因为上的连续函数是有界可测函数，所以可积的20.证明对任何常数，所以因此21.证明22.证明因为为可数集，记为，，取显然，所以，让，得.１５，由于所以.又，所以.故故为可测集，且.23.证明，不妨假设，因为是上的连续函数，故是上的

8、连续函数，记，由在上连续，则，使，则显然易证，是闭集，即为上的可测函数，由的任意性可知，是上的可测函数.24.证明因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，对任何，当时有，由于，故对上述的，存在，当时，且有，于是，即25.证明26.证明，由于所以.１５又，所以.故所以为可测集27.证明，不妨假设，因为是上的单调