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1、《微分几何》复习题与参考答案•、填空题1・极限lim[(3r2+l)i-/3j+k]=13『一8了+斤・222.设f(r)=(sinZ)i+Zj,2(八="2+l)i+”i，求lim(f(t)-g(t))=0./->03・已知『讯/灿={—1,2,3},J：F(Odu{—2丄2},矗={2,1,1},方={1,—1,0},贝U£axr(t)dt+b*£•r(t)dt={3,—9,5}・4.已知疋⑴"(万为常向量)，则r(t)=ta+c.5.已知疋⑴二衍，(万为常向量)，则r(t)=-t2a+c・6.最“贴近,，空间曲线的直线和平面分别是该曲线的切线和密切平
2、面・7.曲率恒等于零的曲线是—_亡线一•&挠率恒等于零的曲线是.9.切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为•般螺线・10.曲线产二在42处有矗=3方，则曲线在1=2处的曲率k=_3_・11.若在点(w0,v0)处丘x£,工0,则(叫电)为曲面的正當一点.4d12.LA知7(r)=(2+r)J+(lnz)^,g(z)=(sint)7-(cost)7,r>0,贝ijf一(f-g)dt=2-6cos4.訥'13.曲线巾)={2屏，召在任意点的切向量为{2⑶2,召.14.曲线r(Z)={acosht,asinh/,/}在/=0点的切向量为{0,a,a}・15.
3、®r(t)={acosZ,asint,bt在(=0点的切向量为{0,a,b}•1_y—_[16・设曲线C:x=ey=e-z=t当f=l时的切线方程为丄二£=十=三二1.17.设曲线x=elcost.y-elsin/,z=e1,当/=0时的切线方程为x-1=y=z-1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是^_・19.u—曲线S—曲线)的正交轨线的微分方程是_Ed"+Fdv=0(Fd«+Gdy=0).20.在欧拉公式kn=k}cos2^+^2sin2^中，0是的夹角.21.曲而的三个基本形式1,11,111、高斯曲率K、平均曲率HZ间的关系是I
4、II-2HII+KI二0.dr17.已知r(u,v)={w+v,w-v,uv，只中w=Z2,v=sinZ,则—={2r4-cos2r-cost,2vt+ucos/}.17.已知〒@&)二{qcos°cos&,acos0sin&,asin(p,其中(p-t，0=t2,则={-asin©cos0一2atcos©sin0,-asinsin0+latcoscos&,qcos。}•24-设r=f(^v)为曲面的参数表示，如果贝IJ称参数曲面是正贝啲；如果F:GtF(G)是__对应的,则称曲面是简单曲面.25.如果"-曲线族和V-曲线族处处不相切，则称相应的处标网
5、为正规坐标网・26.平［Mf(w,v)={w,v,0}的第一基本形式为dw2+dv2,面积微元为dudv・27•悬链面r(w,v)={coshucosv,coshusinv,u］第一基本量是E=cosh2u,F=0,G=cosh2u.28.曲面z=上坐标曲线兀=兀0‘尹二儿的交角的余弦值是/兀0几丁(1+/忑2)(1+/几2)29.正螺面f(u,v)={wcosusinv,bv］的第一基木形式是d/+(/+62)dv2・30.双［tt］抛物面r(w,v)={^(w+v),b(u-v2仰}的第一基本形式是(a2+，+4v2)dw2+2(/-b2+4i/v)
6、dwdv4-(a2+b，+4w2)dv2.31.正螺而r(w,v)={wcosv,usinv,hv的平均曲率为.32・方向(d)=du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)=0或Ld『+IMdudv+Ndv2=0・33.方向(d)=du:dv和⑹=5w:5v共轨的充要条件是II(
7、据罗徳里格斯定理，如果方向(d)=(du:dv)是主方向，则dn=-kndr,其屮血是沿方向(d)的法曲率.37.旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面.38.测地曲率的几何意义是曲而S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等J：(C)在P点的切平面口上的止投影曲线(C*)的曲率.39.k,kg,k“之间的关系是亡=k：+kt)2・40.如果曲而上存在肓线，则此直线的测地曲率为0・41・正交网时测地线的方程为42.曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是宜线二、单项选择题1.已知则产(0)为(A).A.{1,0,1}；B.{-1,0,1}；C.
8、{0,1,1}；D.{1,0,-1}・2.已知")=彷⑴，2为常数
