微分几何试题库

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1、微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和2、二阶微分方程A（w，v）c/w2+2B（w，v）必a/v+B（w，v）dv2=0总表示曲面上两族曲线•（x）3、若；??）和而均在feb］连续，则他们的和也在该区间连续（4、向量函数《）具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，元T）的微商与平行（x）5、等距变换一定是保角变换•（W）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（x）7、常向量的微商不等于零（x）8、螺旋线xvost^sintpt在点（1,0,0）的切线为X=Y=Z（x）9

2、、对于曲线上一点（t=k），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（x）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（V11、曲线的法面垂直于过切点的切线（V）12、单位切向量的模是113、每一个保角变换一定是等距变换14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（W）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.（W）、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点(1,0,0)的法平面是___y^z=O,7118.设给出c27.曲线的基本三

3、棱形由三个基本向量和法平面、从切平面28.杜邦指标线的方程为Lx2+2Mxy^Ny2=±1_jr狐。。29、已知曲面F={wcosv,i/sinv，6v},u>0,0

4、l{4cosx,—4sinx，一3},k-525sin2x20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为漸进曲线。21、旋转面r={州)co城州)sin久扒Z)},他的坐标网是否为正交的?____星(填"是"或"不是").22,过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的____线.23.任何两个向量p,(7的数量积p-q=p\qcos(pq)24.保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为„„等距(保长)变25.圆柱螺线的曲率和挠率都是Ml—数(填"常数"或"非常数").26.若曲线(C)用

5、自然参数表示r=r(Z)，则曲线(C)在P(50)点的密切平面的方程是(/?-r(5o),r(5o),r(5o))=O30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于昼。32.—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络—s综合题33.求曲线1：=/5111/，>，=/(：(^，2=/

6、f，cost-tsirt,el+tel},,(Z)={2cosz-zsint-2sinZ-rcost,2ef+te{}在原点处f=0r(0)={0,0,0},/⑼={0,1,1},r"(0)={2,0,2}.在原点处切平面的方程为：(/?-r(0),/(0),r70))=0即x+y-z=o法平面的方程为:(7?-r(0))/(0)=0即y+z=o切线方程为R-r(0)=Z/(0)34,求曲面z=的渐近曲线。则斤={1，0,3«2},Fv={0，l，-3v2},n=^^=,±±{-3^,3v2,l}IWlW

7、+9v4+l4={0,0,6«},t=6,rVv={0,0,-6v}6uV9w4+9v4+1,M=iiruv=OtN=ii-rvv-6vV9“4+9v4+1因渐近曲线的微分方程为LdiC+2Mdudv-^~Ndv2=0即udu2=w/v2或yfiidu±y/vdv=O•••渐近曲线为+c,或(-以=vUc235.求双曲抛物面r={fz(w+v),/?0-v),2wv}的第一基本形式解:r={«(“+v)，/?(w-v)，2wv}，ru={“，Z?，2v}，rv=[a-b,2u}.E=ru•ru=a2+b2+

8、4v2,F=ru-rv=a1-b2+4wv,G=rv-rv-a1+b2+4w2.I=(a2+b2+4v2)du2+2(tz2-b2+4uv)dudv-^(er+b2+4u2)dv236.计算球面r=(Rcos0cos(pyRcossinsin的第二基本形式.解：r={/?cos沒cos识，/?cos沒sin炉，/?sin汐)，={-/?cos沒sin识，/?cos沒cos识，0}，r0-{-Rsin3cos(p-