微分几何B试题.doc

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1、《微分几何》考试模拟卷（A卷）一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换()2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线.()4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的()5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量().二、填空题（每小题3分，共15分）1.半径为的圆的曲率为_________.2.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,3.坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________.4.在脐点处曲面

2、的第一,第二类基本量满足____________________,5.使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分）1.已知空间正则参数曲线(1)求基本向量.(2)求的曲率和挠率.2、求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.3、设一个曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角.4.确定螺旋面上的曲率线。五、证明题((每小题各9分，共27分)1.证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.证：主法线曲面方程为，是直

3、纹面又因为有已知，所以，有定义知此直纹面是不可展曲面。2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.证：设所给的常向量为，则。所以，两边对求微商得，即。若，则曲线是直线。若，则，于是，，由于，所以有。由可知，从而，所以，即曲线为平面直线3、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。