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1、§10Weingarten变换WW：T^T,W(rz)=Weingarten变换，由dn=nidu1=-GJirkdul=_W(A；)di?=-W^du1)=-W(dr).而II=-dn-dr=W(dr)-dr=(W(dr),dr).可证明：对于任意a,"则有(W(a),b)=(d,W@)).我们称W为自共轨。对于复线性空间V,任意a,fieV,有(ka,0)=k(a,0),(a,1/3)=l(a,〃).故设几是W的特征值，即Wa=Aa.由(Wa.a)=(a.Wa)n(Adf,6Z)=(cif,Acif
2、).即GH0n2=几・故久为实数。(即w称为自共轨时，a为实数。)故w有两个实的特征值，设©丄切单位的,是w的两个特征值人,入对应的特征向量，即w®二人勺，验2=心2・§11设peS,a,bwTp.a与b称为互相共轨的，如果(Wa,b)=0o设a=air.,b=birj,此时(Wa,b)=(W(a7),b=)=a!bj(W^r^r.)=abW：gkj-Q/b=0.即La[b{+M^b2+aV)+N(a2b2)=0.若。与其自身互共轨时，称a为渐进方向。=L(a')2+2Ma'a2+N(a2)2=0.若曲
3、线上一条曲线：u=%(/),v=v(r)上每点切向量都是渐进方向，则称此条曲线为渐进曲线。此时，切向量为（字£）7atat于是有厶（邂Y+2M包型+皿沁2=0.dtdtdtdt当人与Z；互共轨时，有（W（G込）=0,即雪2=0.即M=0.定理曲面S的参数曲线网是共铤曲线网充要条件是M=0.当S的参数曲线网是渐进曲线网，即斤“都是渐进方向时，0=（呵＜）二Q.=jL,O=（Wr2,r2）=^22=N.于是有条件是L二N二0。定理曲面S的参数曲线是渐进曲线网充要§12曲面上的曲率曲面S：r=r（M',M2）
4、,P处一曲线C:r（5）=r（w1（5）,w2（5））,s为弧长参数。则曲线tdrdu11=—=r.,ds'ds”dTdzdu：drdu1d,du=>kN=——=—(r——)=———+r—(——)dsds'dsdsds1dsdsd2u!r^.duJrk+d.du'ndu1dsdsd%~dFdu'dujdsds兀+Q“du1duJndsdsds2klJdsds*如,d2uk心du'du，、11=（苕+几石示心厂这里dh^+du^du^为测地曲率向量册ds2Jdsds在上的投影。卩论为法曲率向量曲〃方向上
5、的投影。法曲率^=7=~^啓与〃的方向有关与大小无关!定理若曲面上的两条曲线在某点相切（即在某点有相同的切向d则它们在这点的法曲率相同on大4、可以不同）,证明：由化的公式立即可得。设pwS，q丄匕・Wel=k©We2=k2e2,&为W的特征值。(陀,弓)w(q,q)(e,,e,)(叫2)_仁(e2,e2)2'即法曲率为/一变换的特征值。设T为pw7；处任一单位切向量，则T=cos0e}+sin0e2・事实上，设T=ae}+be2^>a=T・q=
6、T\e}cos0=cos&b=T•幺2=sin&.
7、k”⑹=(幣J=(WCO,T)=(cos殊尼+sin0k.e2,cos0e}+sinBe.)=cos20k}+sin2飲2・此为Euler公式。§13主方向、主曲率―-=2kcos&(-sin0)+2k.sin0cos〃de-=2&-£Jsin&cos&=0，时，化⑹达到极值点。当広一人工0时，sin&cos&=0,贝1加=0或0=Z212故77/弓,或卩化,弓为忆的方向，匕为总的方向。称主曲率达到最大、最小两个方向：S©为主方向，kl9k2为主曲率。若在peS,kx=k2,则由kn(^)=cos20+
8、k2sin'0=k{=k2,矢口点卩的任何方向的法曲率都相等，此时称卩为S的脐点。此时有当0=0时，〃称为平点；当QH0时，P称为点。§14曲率线C:S上曲线，若在点pec,c的切线为曲面的主方向，则称C为S的曲率线。定理曲线C：Y=1■⑶为曲面*S的曲率线充要条件是存在函数/l(S),使傅dn—、dr——=-/t(s)——・dsds证:C为曲率线，贝UW(¥)=2(s)刍，；I为主曲率。asas§15主曲率及曲率线的计算、总曲率、平均曲率设2为S的王曲率W(e)=Ae,e=为特征向量：=>W(«r)=
9、aGJ^r.=Aar.二>aGJ'r=AajrlJJ=>—AaJ)r.=0.因？£线性无关n"0-AaJ=0.a'GJJ—Aa'3J=0lI二>(0，——0.因为特征向量)，故不全为零。故
10、0-加
11、=0,即
12、〃一0
13、=0,0=叭).将上式展开得：久一tr(GJ)A+det^7—0.定义：K=det^7,Gauss曲率(总曲率)，H=*0),平均曲率。则上方程变为才―2%+K=0.设你闽为两个主曲率，贝U(1k}+k2=2H-(kl+k2)
