第七章 解析几何与微分几何 section8

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1、§8重要平面曲线表[三次曲线]方程与图形特征(a>0,b<0,Δ>0)(a>0,b<0,Δ=0)(a)(b)这些曲线都是关于直线对称的曲线由两支组成渐近线y=a与x=0曲线与y=a的交点曲线与x轴的交点极值点拐点(a)不连续点极大点渐近线（b）不连续点渐近线（c）极大点拐点在这两点的斜率分别为渐近线y=0方程与图形特征[注]a,b为方程的两个根，并设（a）不连续点x=a，x=b渐近线y=0和x=a，x=b（b）不连续点x=a，x=b极大点极小点拐点C渐近线y=0和x=a，x=b(c)不连续点x=a，x=b极大点极小点拐点C渐近线y=0和x=a，x=b（d

2、）不连续点极大点拐点C渐近线y=0和（e）不连续点极小点拐点C渐近线y=0和（f）极大点极小点拐点C,D,E三点渐近线y=0上述三次曲线的图形，只列出a>0的情况，对于a<0时，除曲线（当a>0时渐近线在x轴上方，当a<0时，渐近线在x轴下方）外，一般作适当变化后，与a>0时的曲线都是关于x轴对称的.例如a<0时，两条曲线：与是关于x轴对称的，而后者x2系数.[抛物型曲线]方程与图形特征(a)，n为偶数：y由变到极值点奇数个（1～n-1）拐点偶数个（0～n-2）(b)，n为奇数y由变到极值点偶数个（0～n-1）拐点奇数个（1～n-2）曲线与x轴的交点A1

3、,A2,A3(或一个交点A1)为方程的实根与y轴的交点极值点时C,D（C取正号，D取负号）拐点它是曲线的对称中心，该点的切线斜率为方程与图形特征(a)(b)(a)，n为偶数：顶点（同极值点）O(0,0)曲线关于y轴对称(b)，n为奇数：拐点O(0,0)曲线关于原点对称（m,n为两个互素的整数）n为偶数m奇数n为奇数m偶数n为奇数m奇数相切情况m>nm

4、原点对称(a)，n为偶数，m为奇数：[半立方抛物线][箕舌线][笛卡儿叶形线]或[蔓叶线]不连续点O（0,0）渐近线y=0与x=0曲线关于x对称(b)，n为奇数，m为偶数：曲线关于y对称(c)，n为奇数，m为奇数：曲线关于原点对称尖点在该点与x轴相切曲率半径弧长极大点，在该点的曲率半径为拐点，在这两点的切线斜率分别为渐近线曲线与渐近线之间的面积结点，在该点与x轴和y轴相切，曲率半径为顶点渐近线圈套所围成的面积曲线与渐近线之间的面积曲线是使的点M的轨迹（P是直径为或或[环索线]或或[尼哥米德蚌线]或或（外支线取正号，内支线取负号）a的母圆与OQ的交点）尖点

5、，在该点曲线与x轴相切渐近线曲线与渐近线之间的面积曲线是使PM1=PM2=OP的点M1,M2的轨迹（P为y轴上一点，M1,M2在过A,P两点的射线上）顶点A(a,0)结点O(0,0)渐近线x=-a圈套所围成的面积曲线与渐近线之间的面积曲线是使OM1=OP+b,OM2=OP-b的点M1,M2的轨迹(分别称为外支线(右)和内支线(左))外支线顶点A(a+b,0)拐点B,C，它们的横坐标等于方程x3–3a2x+2a(a2–b2)=0的最大根内支线顶点D(a-b,0)拐点（a>b时）E,F，它们的横坐标等于方程x3–3a2x+2a(a2–b2)=0的第二个正根尖

6、点（a=b时）O(0,0)结点（aa时）O(0,0)极值点当b

7、次）[注]当b=a时，即为心脏线.[卡西尼卵形线]或曲线是使MF1×MF2=a2的点M的轨迹（F1,F2为固定焦点，F1F2=2c，a为常数）.顶点极值点或当a从0变到时，所有极值点构成一个圆（半径为c）拐点其中或当a从c变到时，所有拐点构成双纽线[注]当a=c时，即为双纽线.[心脏线]或或[双纽线]或[普通旋轮线（摆线）]或（i）它是使OM=OP±a的点M的轨迹（a为圆的直径，P为圆周上的一点）（ii）它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等）尖点O(0,0)顶点A(2a,0)极值点二重切线的切点曲线长L=8a面积（i）它是使MF1×MF2=a2的点

8、M的轨迹（OF1=a）（ii）它是使OM=PQ的点M的轨迹（P,Q在圆心为F1，