第七章解析几何与微分几何section

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1、§5二次曲线一、圆[圆的方程、圆心与半径]方程与图形圆心与半径x2+y2=R2或(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)圆心G(0,0)半径r=R(x-a)2+(y-b)2=R2或(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)圆心G(a,b)半径r=Rx2+y2+2mx+2ny+q=0m2+n2>qr2+2r(mcost+nsint)+q=0(极坐标方程)圆心G(-m,-n)半径r2-2rr0cos(j-j0)+r02=R2(极坐标方程)圆心G(r0,j0)半径r=Rx2+y2=2Rx或r=2Rcosj(极坐标方程)圆心

2、G(R,0)半径r=Rx2+y2=2Ry或r=2Rsinj(极坐标方程)圆心G(0,R)半径r=R[圆的切线]圆x2+y2=R2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=R2圆x2+y2+2mx+2ny+q=0上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+m(x+x0)+n(y+y0)+q=0[两个圆的交角、圆束与根轴]方程与图形公式与说明两个圆的交角C1x2+y2+2m1x+2n1y+q1=0C2x2+y2+2m2x+2n2y+q2=0两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角式中q表示两个圆C1和C2的交角

3、，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.两个圆C1和C2正交条件为2m1m2+2n1n2-q1-q2=0圆束×两个圆的根轴ClC1+lC2=0(l为参数)或(l+1)(x2+y2)+2(m1+lm2)x+2(n1+ln2)y+(q1+lq2)=0根轴方程为2(m1-m2)x+2(n1-n2)y+(q1-q2)=0对l(l¹-1)的一个确定值，Cl表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时，Cl所表示的圆的全体，称为圆束.l=-1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆

4、Cl的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共

5、三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.[反演]设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：（i）O,M,M¢共线，（ii）OM×OM¢=r2，这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2>0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.取O为原点，则一切反演点M(x,y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为反演具有性质：图

6、7.11°不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.2°通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.3°通过反演中心的一条直线变为它自己.4°不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.5°反演圆变为它自己.6°与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.7°如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢,C2¢必交于M的反演点M¢.8°如果两条曲线C1,C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢,C2¢必在M的反演点M¢相切.9°两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.一、椭圆1．椭圆的基

7、本元素主轴(对称轴)顶点A,B,C,D椭圆中心G焦点F1,F2焦距离心率压缩系数焦点参数(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H)焦点半径r1,r2(椭圆上一点(x,y)到焦点的距离)r1=a-ex，r2=a+ex直径PQ(通过椭圆中心的弦)图7.2共轭直径二直径斜率为，且满足准线L1和L2(平行于短轴，到短轴的距离为)1．椭圆的方程、顶点、中心与焦点方程与图形顶点·中心·焦点(标准方程)或(参数方程，t为与M点对应的同心圆(半径为a,b)的半径与x轴正方向的夹角)顶点A,B(±a,0)C,D(0,±b)中心G(0,0

8、)焦点F1,F2(±c,0)或(t同上)顶点A,B(g±a,h)C,D(g,h±b)中心G(g,h)焦点F1,F2(g±c,h)顶点A,B(0,±a)C,D(±b,0)中心G(0,0)焦点F1,F2(0,±c)，e<1(极坐标方程，极点位于椭圆一焦点上，极轴为从焦点指向最近一个顶点的射线，j为极角，p,