解析几何与微分几何section

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1、§9空间曲线一、曲线的基本概念与公式[曲线的方程与正向]曲线方程的形式曲线的正向交面式参数式或（t为任意参数，s为曲线的弧长）矢量式r=r(t)或r=r(s)（r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,t,s同上）t（或s）增加时，曲线上一点运动的方向图7.18[活动标架的三个单位矢量]t为单位切线矢量，方向与曲线的正向一致；n为单位主法线矢量，它指向曲线的凹方；b为单位副法线矢量，b=tn.t,n,b构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为曲线在点M的活动标架（或叫动标三面形、伴随三面形，也叫活动标形）.[活动标架所在直线和平面的方程]设M为(x0,y0,z0)（图7.18）.1°切线

2、过曲线上两点N,M的直线NM，当NM时的极限位置.其方程为参数式（以t为参数）式中表示在点M(x0,y0,z0)处的值，等等.参数t可以取为弧长s，这时用表示，等等.矢量式r=r0+（以t为参数）式中表示在点M(x0,y0,z0)处的值，为另一个参数.交面式式中表示在M点的值，等等.2°法面与切线垂直的平面（通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线）.其方程为参数式(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0（以t为参数）式中也可取弧长s为参数.矢量式(r-r0)=0（以t为参数）交面式3°密切面通过曲线上三点M,P,N作一平面，当时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为参数式（以

3、t为参数）式中表示在M点的值，等等，参数t也可取为弧长s.矢量式((r-r0))=0（以t为参数）4°主法线法面与密切面的交线.其方程为参数式（以t为参数）式中l=,m=,n=（以s为参数）表示在点M的值，等等.矢量式r=r0+（以t为参数）r=r0+（以s为参数）式中为另一个参数.5°副法线垂直于密切面的直线.其方程为参数式（以t为参数）式中l,m,n如(1)式定义.矢量式r0=r0+（以t为参数）6°从切面通过切线与副法线的平面.其方程为参数式（以t为参数）（以s为参数）矢量式（以t为参数）（以s为参数）[曲率与挠率的定义与公式]公式与意义图形曲率曲率半径k表示包含点M的部分曲线偏离直线

4、的程度，也是切线方向对于弧长的转动率挠率挠率半径表示包含点M的部分曲线偏离平面曲线的程度.=0的曲线是平面曲线.是曲线在点M挠率的绝对值，它等于副法线方向对于弧长的转动率.挠率的符号：当点M沿曲线的正向移动时，矢量与n反向，则取正号，反之取负号（图(b)）(a)(b)表中分别表示t,b对s的导数.[曲率与挠率的计算公式]1°曲率参数式k=（以t为参数）k=（以s为参数）矢量式k=或（以t为参数）k=（以s为参数）2°挠率的绝对值参数式（以t为参数）（以s为参数）矢量式或（以t为参数）（以s为参数）式中s为弧长，t为任意参数，“¢”表示对s求导,“×”表示对t求导.[雪列-弗莱纳公式（或基本公

5、式）],,式中t,n,b为活动标架的三个基本单位矢量，为曲率半径，为挠率半径.这组公式的特点就是基本矢量t,n,b关于弧长s的导数可以用t,n,b的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称方阵：这组公式与=t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律.把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕M转动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.它仅分解为两个矢量t和b，因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于t,按转动速度的定义，它绕着方向为t的轴转

6、动；另一个绕着方向为b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意义：曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量.最后，由可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.[基本定理与自然方程]在一闭区间asb上给定任意两个连续函数k(s)和(s)，其中k(s)>0，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s为弧长，可k(s)为曲率，(s)为挠率.方程组k=k(s),=(s)称为空间曲线的自然方程.一、螺旋线的方程与图形[一般螺旋线]与柱面母线的交角为定角()的空间曲线称为一般螺旋线（或定倾曲线）.这种曲线具有性质：1°曲率与挠率的

7、比等于常数(k=tan).2°切线与一固定方向的交角为定角().3°主法线与一固定方向垂直.4°副法线与一固定方向的交角为定角.图7.19[圆柱螺旋线]一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线（图7.19），其参数方程为式中，为角速度，h称为螺距，称为螺旋角，式中对右螺旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长s为参数，其方程为图7.20曲率与挠率都是常数：k=,[圆锥螺旋